Принцип безразличия: Математика непредсказуемости

Конец чистых стратегий

Ранее мы рассматривали игры, где всегда существовала оптимальная «чистая» стратегия — например, сказать правду в аукционе Викри или нарастить максимальные рога в парадоксе оленей. Но в жизни полно игр с нулевой суммой (где выигрыш одного равен проигрышу другого), в которых любая предсказуемость смертельна.

Если теннисист всегда подает в правый квадрат, соперник начнет заранее сдвигаться туда. Если бить пенальти только в левый угол, вратарь будет всегда прыгать влево. Чтобы выжить, игроки обязаны быть непредсказуемыми — они используют смешанные стратегии (Mixed Strategies), выбирая действия с определенными вероятностями.

Парадокс смешивания

Самая большая ошибка новичков — думать, что мы выбираем вероятности так, чтобы максимизировать свой собственный выигрыш от каждого действия. На самом деле, вы выбираете свои вероятности так, чтобы сделать вашего оппонента абсолютно безразличным к тому, что он выберет. Это и есть Принцип Безразличия.

Математика безразличия

Теорема Джона Нэша утверждает: если игрок в равновесии смешивает две стратегии (А и Б), то ожидаемая полезность от обеих стратегий обязана быть строго одинаковой:

E[U(A)] = E[U(B)]

Почему это так? Доказательство от противного: если бы $E[U(A)] > E[U(B)]$ , то рациональный игрок никогда бы не использовал стратегию Б. Он бы с вероятностью 100% играл А (перешел бы к чистой стратегии). Сам факт того, что он бросает кубик и иногда выбирает Б, математически доказывает, что оба варианта приносят ему абсолютно равную ожидаемую выгоду.

Интерактив: Пробейте пенальти по Нэшу

Вы бьете пенальти. Вы — левша, поэтому ваши удары влево сильнее (вратарь отбивает их с шансом 60%, если угадает), а удары вправо слабее (вратарь отбивает их с шансом 80%, если угадает). Меняйте вероятность вашего удара влево так, чтобы ожидаемая полезность вратаря сровнялась, и он не смог предугадать ваш стиль!

Вероятность удара ВЛЕВО:50%

0% (Всегда вправо)100% (Всегда влево)

Вратарь вас читает: Он прыгнет ВПРАВОВы бьете вправо слишком часто (50%). Ожидаемая полезность вратаря от прыжка вправо (40) больше, чем влево (35). Вратарь подстроится и будет всегда прыгать вправо.

Ожидаемая полезность вратаря EU(Вратарь)

Цель: Сравнять столбцы, чтобы сделать вратаря безразличным

Контринтуитивный вывод: вы зависите от врага

Если вы внимательно играли с симулятором, вы заметили сумасшедшую вещь. Чтобы найти свою оптимальную вероятность удара (свой $p$ ), вы приравнивали ожидаемые выигрыши вратаря, а не свои собственные!

Это фундаментальное свойство равновесия в смешанных стратегиях: ваша оптимальная смесь вероятностей зависит исключительно от выигрышей вашего оппонента, и никак не зависит от ваших собственных! Ваша задача — забрать у оппонента стимул отклоняться от его текущего поведения. Если вы измените силу своего удара, изменится поведение вратаря. Но чтобы заставить вас изменить вероятности, должны измениться выигрыши вратаря (например, если за сейв в левом углу ему начнут платить премию).

🧠 Олимпиадная задача: Инспектор и безбилетник

Студент (С) решает: покупать билет на электричку (стоит 100₽) или ехать зайцем (0₽). Контролер (К) решает: проверять вагон (стоит 50₽ усилий) или пить чай (0₽).

Если Студент едет зайцем, а Контролер проверяет, то Студент платит штраф 500₽ (полезность -500), а Контролер получает премию 300₽ (полезность 300 - 50 = 250).

Если Студент едет зайцем, а Контролер пьет чай: Студент экономит 100₽ (полезность 100), Контролер получает 0.

Если Студент купил билет (полезность -100): Контролеру нет разницы, поймал он его или нет (штрафа нет). Полезность Контролера от проверки: -50 (потратил силы зря). От чая: 0.

Задание: Найдите Равновесие Нэша в смешанных стратегиях. С какой вероятностью контролер должен проверять вагоны?

Математический разбор:

Пусть $p$ — вероятность того, что Контролер проверяет. Пусть $q$ — вероятность того, что Студент едет зайцем.

Шаг 1: Ищем $q$ (стратегию Студента), делая Контролера безразличным.

Ожидаемая полезность Контролера от Проверки: $E_K(Проверка) = 250 \times q + (-50) \times (1 - q) = 300q - 50$

Ожидаемая полезность Контролера от Чая: $E_K(Чай) = 0 \times q + 0 \times (1 - q) = 0$

Приравниваем: $300q - 50 = 0 \implies 300q = 50 \implies q = \frac{1}{6} \approx 16.7\%$

Шаг 2: Ищем $p$ (стратегию Контролера), делая Студента безразличным.

Ожидаемая полезность Студента быть Зайцем: $E_C(Заяц) = -500 \times p + 100 \times (1 - p) = 100 - 600p$

Ожидаемая полезность Студента с Билетом: $E_C(Билет) = -100 \times p - 100 \times (1 - p) = -100$

Приравниваем: $100 - 600p = -100 \implies 600p = 200 \implies p = \frac{1}{3} \approx 33.3\%$

Вывод для олимпиады: Равновесие Нэша: Контролер проверяет случайные $33.3\%$ вагонов, а Студент рискует ехать без билета в $16.7\%$ случаев. Обратите внимание: вероятность проверок зависит от штрафа для студента (500) и цены билета (100). Если государство увеличит штраф до 1000₽, Контролер сможет проверять вагоны реже, сохраняя систему в равновесии!