Картели и Предательство: Бесконечно повторяющиеся игры | n2tutor

Проклятие статичной игры

Давайте вспомним фундамент: если игра играется ровно один раз (статичная игра), доминантной стратегией всегда будет предательство.

Представьте две компании. Если обе держат высокие цены (Сговор), они получают по 7 млн. Если обе снижают цены (Война), они получают по 5 млн. Но если одна фирма снизит цену тайно (Кидок), а вторая нет, то предатель заберет весь рынок (15 млн), а честный банкрот получит 0.

В одноразовой игре логика диктует: что бы ни сделал конкурент, мне математически выгоднее предать. В итоге обе фирмы предают друг друга, начинают ценовую войну и сваливаются в «плохое» равновесие Нэша (5, 5). Это трагедия свободных рынков.

Око за око (Tit-for-Tat)

Ситуация радикально меняется, если игра повторяется бесконечное число раз. В 1980-х годах политолог Роберт Аксельрод провел компьютерный турнир: какая стратегия выживет в повторяющейся Дилемме заключенного? Победила простейшая стратегия: «Начни с сотрудничества. А дальше делай ровно то, что конкурент сделал на прошлом ходу». Она не прощает предательства, но умеет прощать, если конкурент исправляется.

Народная теорема (Folk Theorem)

Почему повторяющаяся игра спасает ситуацию? Из-за «тени будущего». В бесконечной игре появляется угроза сурового наказания.

Если ваш конкурент играет по суровой стратегии «Grim Trigger» (Мрачный курок), это значит: «Пока ты честен — мы в сговоре. Но если ты кинешь меня хотя бы раз, я обрушу цены, и мы будем воевать (5, 5) до скончания веков».

Теперь перед вами выбор. Либо честно получать по 7 млн каждый год. Либо украсть 15 млн сегодня, но завтра и навсегда лишиться сверхприбыли, получая жалкие 5 млн. Что перевесит? Это зависит от фактора дисконтирования ( $\delta$ ) — того, насколько сильно вы цените будущие деньги по сравнению с сегодняшними.

Интерактив: Тень Будущего

Вы — глава корпорации. Вы тайно договорились с конкурентом держать высокие цены (Сговор). Если вы нарушите договор (Кидок), вы сорвете джекпот сегодня (15 млн), но конкурент разозлится и начнет вечную ценовую войну (ваша прибыль упадет до 5 млн). Если вы будете честны, то оба будете получать по 7 млн вечно. Стоит ли предавать? Это зависит от того, насколько вы цените завтрашние деньги.

Ценность будущего (

\delta

): 50%

Живу одним днемСмотрю на века

Ценность Сговора14

Ценность Кидка20

Предательство неизбежно (Картель рухнул)

Будущее для вас мало значит (дисконт 50%). Выгода от мгновенного кидка конкурента (15 млн) перевешивает все потери от будущей войны. Рациональный игрок нарушит договор, и рынок скатится в равновесие Нэша (5 млн).

Приведенная стоимость стратегий (PV)

Критическая точка ( $\delta^*$ ): Картель выживает только если дисконт ≥ 80%

Математика предательства на олимпиадах

Задачи на проверку устойчивости картеля через расчет бесконечно убывающих геометрических прогрессий — это классика продвинутого этапа ВсОШ. Давайте разберем одну из таких задач.

🧠 Олимпиадная задача: Фармацевтический картель

Две фармацевтические компании могут потратить по 5 млн $ на разработку (стратегия D - Конкуренция), либо не тратить (стратегия C - Сговор).

Если обе в сговоре (C, C): выручка по 7 млн.
Если обе конкурируют (D, D): выручка по 10 млн (издержки 5). Итого прибыль по 5 млн.
Если одна предаст (D), а другая нет (C): Предатель захватит рынок (выручка 20, издержки 5, прибыль 15). Честный банкрот получит 0.

Они играют в эту игру бесконечное число раз. Конкурент использует стратегию жесткого наказания (Grim Trigger). Фактор дисконтирования равен $\delta$ .

Задание:
а) Укажите равновесие в одноразовой (статичной) игре.
б) Найдите минимальное значение $\delta^*$ , при котором картельный сговор будет математически устойчивым.

Строгий математический разбор:

Часть А. Статичная игра

Строим платежную матрицу. Если Оппонент играет C, мне выгодно D (15 > 7). Если Оппонент играет D, мне выгодно D (5 > 0). Следовательно, D (Инвестировать/Конкурировать) — это строго доминирующая стратегия. В одноразовой игре равновесие Нэша — (D, D), каждый получает по 5. Это классическая Дилемма заключенного.

Часть Б. Бесконечно повторяющаяся игра

Считаем приведенную стоимость (Present Value) двух вариантов поведения:

1) Соблюдать сговор: Вы получаете 7 сегодня, 7 завтра, 7 послезавтра и т.д. Это сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

PV_{coop} = 7 + 7\delta + 7\delta^2 + \dots = \frac{7}{1 - \delta}

2) Нарушить сговор: Вы получаете 15 сегодня (Оппонент не ожидал кидка). Со следующего периода Оппонент «наказывает» вас и всегда играет D. Ваш лучший ответ на это — тоже играть D. Со следующего периода и вечно вы получаете только по 5:

PV_{cheat} = 15 + 5\delta + 5\delta^2 + \dots = 15 + \frac{5\delta}{1 - \delta}

Условие устойчивости картеля: Сговор имеет смысл, только если $PV_{coop} \ge PV_{cheat}$ :

\frac{7}{1 - \delta} \ge 15 + \frac{5\delta}{1 - \delta}

Умножим обе части на $(1 - \delta)$ (так как $0 \le \delta < 1$ , знак не меняется):

7 \ge 15(1 - \delta) + 5\delta

7 \ge 15 - 15\delta + 5\delta \implies 7 \ge 15 - 10\delta

10\delta \ge 8 \implies \delta \ge 0.8

Вывод для олимпиады: Картель выживет только в том случае, если компании достаточно терпеливы и ценят завтрашний доллар не ниже, чем 80 центов сегодняшнего ( $\delta \ge 0.8$ ). Если надвигается кризис или банкротство (компаниям нужны деньги "прямо сейчас", $\delta$ падает), картель неизбежно развалится.

Почему картели (и мафия) такие хрупкие?

Народная теорема объясняет, почему ОПЕК (картель стран-экспортеров нефти) постоянно испытывает проблемы. Как только у какой-то страны (например, Венесуэлы или Анголы) случается внутренний экономический кризис, её $\delta$ резко падает. Правительству нужны живые деньги прямо сейчас, чтобы закрыть дыры в бюджете.

Тень будущего теряет для них свою ценность. Они тайно превышают квоты на добычу нефти (кидают партнеров по ОПЕК), обрушивая мировые цены. Математика безжалостна: доверие работает только тогда, когда всем участникам сыто и комфортно заглядывать в далекое завтра.

Картели и Предательство: Тень бесконечного будущего