Дилемма соседа: Экстерналии и проблема безбилетника

Экстерналии: Когда ваши действия касаются других

Экстерналия (Внешний эффект) — это ситуация, когда действия одного экономического агента влияют на благосостояние третьих лиц, которые не участвуют в сделке, причем это влияние не компенсируется деньгами.

Они бывают отрицательными: например, завод загрязняет реку, и местные рыбаки лишаются улова, хотя они не покупают продукцию завода. И бывают положительными: вы сделали красивый палисадник перед домом, и соседи любуются им бесплатно.

Фундаментальная проблема рыночной экономики заключается в том, что без вмешательства государства (налогов или субсидий), товаров с положительными экстерналиями производится слишком мало, а с отрицательными — слишком много.

Проблема безбилетника (Free-rider problem)

Классическое проявление положительных экстерналий — общественные блага (маяк, национальная оборона, чистота в подъезде). Поскольку нельзя запретить пользоваться чистым коридором тому, кто его не мыл, у каждого жильца возникает сильный эгоистичный стимул: «Зачем мне напрягаться? Подожду, пока уберется сосед, и получу выгоду бесплатно!». В итоге не убирается никто.

Математика лени

Это не просто психологическая лень, это строгая математика. Давайте переведем ситуацию в общежитии на язык теории игр. У каждого студента есть функция полезности. Она состоит из двух множителей: Удовольствие от чистоты (которая является суммой усилий обоих) умноженное на Свободное время (которое сокращается, если студент убирается).

Интерактив: Битва за Чистоту

По умолчанию система находится в Равновесии Нэша (полезность обоих = 18). Ваша задача — изменить усилия студентов так, чтобы найти Парето-улучшение: ситуацию, в которой полезность обоих окажется строго больше 18!

Усилия Михаила (

x_m

): 2 ед.

Усилия Алексея (

x_a

): 1 ед.

Итоговая чистота комнаты (G)3 из 12

Равновесие Нэша (Эгоизм)

Михаил убрался на 2 единицы, Алексей — на 1. Чистота комнаты всего 3. Каждый получил полезность 18. Никто не хочет в одиночку убираться больше, ведь сосед бесплатно воспользуется этой чистотой (эффект безбилетника).

Функции полезности (Побить планку 18)

Уровень 18 — это то, что они получают без уговоров, будучи эгоистами.

Теоретико-игровой разбор

В симуляторе вы могли заметить, что точка (2; 1) является неэффективной: можно найти значения (например, 3 и 2), где обоим станет сильно лучше. Но как доказать, что если они не договорятся, они неизбежно свалятся в точку (2; 1)?

Перед нами динамическая игра (модель Штаккельберга). Один сосед ходит утром, второй — вечером, наблюдая за действиями первого. Применим метод обратной индукции!

🧠 Олимпиадная задача: Уборка в общежитии

Студенты Алексей и Михаил договорились убираться в комнате. Итоговая чистота $G = x_a + x_m$ (сумма усилий).
Полезность Михаила: $U_m = G \times (8 - x_m)$ .
Полезность Алексея: $U_a = G \times (8 - 2x_a)$ (Алексей не любит уборку вдвое сильнее).

В субботу первым убирается Михаил (утром). Алексей приходит вечером, видит уровень усилий Михаила ( $x_m$ ) и принимает решение о своих усилиях ( $x_a$ ).

Задание:
а) Найдите равновесные уровни усилий и итоговые полезности студентов.
б) Докажите, что они могли бы договориться так, чтобы обоим стало лучше (Парето-улучшение).

Математический разбор:

Шаг 1. Обратная индукция (Второй игрок - Алексей):

Алексей наблюдает уже зафиксированный $x_m$ . Он максимизирует свою полезность по переменной $x_a$ :

U_a = (x_a + x_m)(8 - 2x_a) = 8x_a - 2x_a^2 + 8x_m - 2x_a x_m

Берем производную по $x_a$ и приравниваем к нулю:

\frac{\partial U_a}{\partial x_a} = 8 - 4x_a - 2x_m = 0 \implies 4x_a = 8 - 2x_m \implies x_a^* = \frac{4 - x_m}{2}

Это функция реакции Алексея. Чем больше убирается Михаил, тем меньше будет убираться Алексей! (Фрирайдерство в чистом виде).

Шаг 2. Ход первого игрока (Михаил):

Михаил знает функцию реакции Алексея и подставляет её в свою функцию полезности:

U_m = \left(\frac{4 - x_m}{2} + x_m\right)(8 - x_m) = \left(\frac{4 + x_m}{2}\right)(8 - x_m) = \frac{1}{2}(32 - 4x_m + 8x_m - x_m^2)

U_m = 16 + 2x_m - 0.5x_m^2

Берем производную по $x_m$ :

\frac{\partial U_m}{\partial x_m} = 2 - x_m = 0 \implies x_m^* = 2

Шаг 3. Итоги Равновесия:

Если $x_m^* = 2$ , то $x_a^* = \frac{4 - 2}{2} = 1$ . Чистота $G = 2 + 1 = 3$ .

U_m = 3 \times (8 - 2) = 18

U_a = 3 \times (8 - 2 \times 1) = 18

Шаг 4. Доказательство неэффективности:

Что если они заключат жесткий контракт: «Давай напряжемся! Ты уберешь на 3, а я на 2»? ( $x_m = 3, x_a = 2$ ).

Чистота $G = 5$ .

U_m = 5 \times (8 - 3) = 25 > 18

U_a = 5 \times (8 - 2 \times 2) = 20 > 18

Вывод для олимпиады: Мы нашли точку, где обоим участникам строго лучше (25 и 20 > 18). Это означает, что равновесие Нэша (18; 18) Парето-неэффективно. Однако без внешнего принуждения (или штрафов за грязь) они всегда будут скатываться обратно к эгоистичной лени (2; 1), потому что в точке (3; 2) каждому выгодно тайно "кинуть" соседа и убраться поменьше.

Как решать проблему внешних эффектов?

Рынок не может решить эту проблему сам. Именно здесь появляется потребность в институтах. Рональд Коуз (Нобелевская премия 1991) доказал, что если права собственности четко определены, а транзакционные издержки равны нулю, стороны могут договориться сами (Теорема Коуза).

Но в жизни договориться сложно. Поэтому общество придумывает надстройки: государство вводит штрафы за загрязнение (налоги Пигу), собирает обязательные налоги на армию и уличное освещение, а студенты в общежитии... назначают дежурных и старосту, который имеет право наказывать лентяев.