Подготовка к олимпиадам по экономике

Корпорация «Aether Robotics» является монополистом по продаже промышленных экзоскелетов на двух сегментированных рынках: Северном (N) и Южном (S). Функции спроса на рынках заданы как:

Северный рынок: $P_N = 110 - 0{,}5q_N$
Южный рынок: $P_S = 80 - q_S$

Для производства корпорация располагает двумя заводами с разными технологиями. Издержки заводов зависят от произведенного на них количества продукции ( $q_1$ и $q_2$ ):

Завод «Альфа»: $TC_1(q_1) = 0{,}25 q_1^2 + 35 q_1$
Завод «Бета»: $TC_2(q_2) = 0{,}25 q_2^2 + 55 q_2$

В начале года корпорация располагает свободным собственным капиталом $Z$ . Все производственные затраты должны быть оплачены в начале года, а выручка поступает в конце.

Финансовый рынок устроен так: если корпорация размещает средства $Z$ на безрисковом депозите, она получает доходность $r_{dep} = 0\%$ (сохранение капитала). Если же средств $Z$ не хватает, корпорация вынуждена привлекать кредиты под грабительскую ставку $r_{loan} = 150\%$ годовых.

Для каждого из предложенных значений начального капитала $Z$ определите: совокупный выпуск $Q$ , распределение продаж по рынкам ( $q_N, q_S$ ) и распределение производства по заводам ( $q_1, q_2$ ). Опишите финансовые действия фирмы (размер кредита или депозита).

а) $Z = 175$ тыс. у.е.
б) $Z = 1584$ тыс. у.е.
в) $Z = 4000$ тыс. у.е.

💡 Решение

Шаг 1. Агрегирование рынков сбыта (Сложение MR)

Выведем обратные функции предельной выручки для каждого рынка:

$MR_N = 110 - q_N \implies q_N(MR) = 110 - MR$ (при $MR \le 110$ )
$MR_S = 80 - 2q_S \implies q_S(MR) = 40 - 0{,}5MR$ (при $MR \le 80$ )

Точка излома совокупного $MR$ возникает при $MR = 80$ . При этой предельной выручке корпорация продает $q_N = 110 - 80 = 30$ единиц, а Южный рынок только начинает открываться. Следовательно, пороговый объем равен $Q_{sales} = 30$ .

Функция $MR(Q)$ :

Если $Q \le 30$ , обслуживается только рынок N: $\mathbf{MR(Q) = 110 - Q}$
Если $Q > 30$ , обслуживаются оба рынка: $Q = (110 - MR) + (40 - 0{,}5MR) = 150 - 1{,}5MR \implies \mathbf{MR(Q) = 100 - \frac{2}{3}Q}$

Шаг 2. Агрегирование производственных мощностей (Сложение MC)

Выведем функции предельных издержек каждого завода:

$MC_1 = 0{,}5q_1 + 35 \implies q_1(MC) = 2MC - 70$ (при $MC \ge 35$ )
$MC_2 = 0{,}5q_2 + 55 \implies q_2(MC) = 2MC - 110$ (при $MC \ge 55$ )

Точка излома совокупных предельных издержек возникает при $MC = 55$ . При таких издержках Завод 1 выпускает $q_1 = 2(55) - 70 = 40$ единиц, а Завод 2 только запускается. Пороговый объем равен $Q_{prod} = 40$ .

Функция $MC(Q)$ :

Если $Q \le 40$ , работает только Завод 1: $\mathbf{MC(Q) = 0{,}5Q + 35}$
Если $Q > 40$ , работают оба завода: $Q = (2MC - 70) + (2MC - 110) = 4MC - 180 \implies \mathbf{MC(Q) = 0{,}25Q + 45}$

Шаг 3. Топология режимов расширения фирмы

Поскольку порог открытия второго рынка ( $Q=30$ ) достигается раньше, чем порог запуска второго завода ( $Q=40$ ), фирма при расширении выпуска проходит ровно через 3 последовательных интервала:

$Q \in (0; 30]$ : 1 рынок (N) и 1 завод (Альфа).
$Q \in (30; 40]$ : 2 рынка (N + S) и 1 завод (Альфа).
$Q \in (40; \infty)$ : 2 рынка (N + S) и 2 завода (Альфа + Бета).

Шаг 4. Анализ сценариев финансирования

Маржинальное условие максимизации прибыли зависит от того, каким капиталом оплачивается последняя произведенная единица:

Если привлекается кредит, предельная стоимость капитала равна $150\%$ , и условие имеет вид $MR(Q) = MC(Q) \cdot (1 + 1{,}5) = \mathbf{2{,}5 MC(Q)}$ .
Если размещается депозит, предельная альтернативная стоимость равна $0\%$ , и условие имеет вид $MR(Q) = \mathbf{1{,}0 MC(Q)}$ .
Если фирма самофинансируется (бюджет исчерпан точно в ноль), она останавливается в точке $TC(Q) = Z$ .

а) Жесткий дефицит капитала ($Z = 175$)

Фирма вынуждена брать кредит. Проверим Интервал 1 ( $Q \le 30$ ), где $MR = 110 - Q$ и $MC = 0{,}5Q + 35$ : $MR(Q) = 2{,}5 \cdot MC(Q) \iff 110 - Q = 2{,}5(0{,}5Q + 35) = 1{,}25Q + 87{,}5$ $2{,}25Q = 22{,}5 \implies \mathbf{Q^* = 10 \le 30} \quad \text{(попали в 1-й интервал!)}$

Структура при $Q=10$ :

Рынки: $MR = 100$ . Работает только Север ( $q_N = 10, P_N = 105$ ), Юг закрыт ( $q_S = 0$ ).
Заводы: Работает только Альфа ( $q_1 = 10$ ), Бета закрыт ( $q_2 = 0$ ).
Финансы: $TC(10) = 0{,}25(100) + 35(10) = 375$ . Фирма берет кредит на $200$ тыс. у.е. ( $375 - 175$ ).

б) Зона самофинансирования ($Z = 1584$)

Предположим, фирма тратит ровно свой капитал $TC(Q) = 1584$ . Проверим попадание во 2-й интервал ( $Q \in (30; 40]$ ), где работает 1 завод: $TC_1(Q) = 0{,}25Q^2 + 35Q = 1584 \implies Q^2 + 140Q - 6336 = 0$ $\sqrt{D} = \sqrt{19600 + 25344} = \sqrt{44944} = 212 \implies \mathbf{Q^* = \frac{-140 + 212}{2} = 36 \in (30; 40]}$

Проверим оптимальность остановки: при $Q=36$ имеем $MR = 100 - 2/3(36) = 76$ и $MC = 0{,}5(36) + 35 = 53$ . Видим, что $53 < \mathbf{76} < 2{,}5 \times 53 = 132{,}5$ . То есть $1{,}0 MC < MR < 2{,}5 MC$ . Фирма не хочет брать дорогой кредит для расширения и не хочет сокращать выпуск, так как отдача от производства (76) выше ставки депозита (53). Остановка оптимальна.

Структура при $Q=36$ :

Рынки: $MR = 76$ . Работают оба: $q_N = 110 - 76 = 34$ , $q_S = 40 - 0{,}5(76) = 2$ .
Заводы: Работает только Альфа ( $q_1 = 36$ ), Бета закрыт ( $q_2 = 0$ ).
Финансы: Капитал $Z$ исчерпан в ноль. Кредитов и депозитов нет.

в) Профицит капитала ($Z = 4000$)

У фирмы есть излишек. Проверим Интервал 3 ( $Q > 40$ ), где $MR = 100 - 2/3Q$ и $MC = 0{,}25Q + 45$ . Фирма расширяется до $MR(Q) = 1{,}0 \cdot MC(Q)$ : $100 - \frac{2}{3}Q = 0{,}25Q + 45 \iff 55 = \left(\frac{2}{3} + \frac{1}{4}\right)Q = \frac{11}{12}Q$ $Q^* = 55 \times \frac{12}{11} \implies \mathbf{Q^* = 60 > 40} \quad \text{(попали в 3-й интервал!)}$

Структура при $Q=60$ :

Рынки: $MR = 60$ . $q_N = 110 - 60 = \mathbf{50}$ , $q_S = 40 - 0{,}5(60) = \mathbf{10}$ .
Заводы: $MC = 60$ . $q_1 = 2(60) - 70 = \mathbf{50}$ , $q_2 = 2(60) - 110 = \mathbf{10}$ .
Финансы: $TC_{\Sigma} = TC_1(50) + TC_2(10) = 2375 + 575 = 2950$ . Фирма открывает депозит на $1050$ тыс. у.е. ( $4000 - 2950$ ).

Обратите внимание на красивую математическую симметрию в 3-м интервале: $q_N = q_1 = 50$ и $q_S = q_2 = 10$ .