Подготовка к олимпиадам по экономике

В отдаленной галактике обнаружен астероид, содержащий ценный минерал. Поверхность астероида условно разделена на 9 секторов (в виде матрицы $3 \times 3$ ). Известно, что залежи минерала находятся строго в одном из девяти секторов, причем изначально все 9 секторов абсолютно равновероятны.

Ценность астероида зависит исключительно от того, в каком секторе находится ядро. Матрица стоимости (в миллионах кредитов) известна всем участникам рынка:

Позиция	Запад (Столбец 1)	Центр (Столбец 2)	Восток (Столбец 3)
Север (Строка 1)	10	20	90
Экватор (Строка 2)	0	40	80
Юг (Строка 3)	50	60	70

Две добывающие корпорации, «Альфа» и «Бета», отправили к астероиду свои разведывательные зонды. Технологии у них разные: зонд «Альфы» способен сканировать только широту (он сообщает корпорации точную Строку, где лежит минерал, но не видит столбец). Зонд «Беты» сканирует только долготу (сообщает точный Столбец, но не видит строку).

Истинное положение минерала — сектор (Север; Центр). Следовательно, реальная стоимость астероида составляет 20 млн кредитов. Корпорации знают свои координаты, но не видят данные конкурента.

Информационная асимметрия. Опираясь только на данные своих зондов, вычислите изначальное математическое ожидание стоимости астероида для «Альфы» и для «Беты».
Эхо-камера Биржи. Астероид принадлежит «Альфе», а «Бета» хочет его купить. По законам Межгалактической Биржи перед началом торгов корпорации обязаны запустить протокол прозрачности. Они одновременно публикуют свои текущие ожидаемые оценки на открытом табло. Как только цифры появляются, аналитики обеих компаний пытаются извлечь информацию из чужой оценки, пересчитывают свое математическое ожидание и выдают новую цифру в следующем раунде. Процесс останавливается, когда цифры перестают меняться.
Сколько раундов публикации оценок будет произведено? Напишите точную последовательность пар оценок (Альфа; Бета), которые будут появляться на табло в каждом раунде.
Фундаментальный парадокс. Состоится ли сделка купли-продажи астероида после того, как табло остановится? Какую известную экономическую теорему иллюстрирует этот процесс?

💡 Решение

Шаг 1. Первоначальные оценки зондов

Корпорация «Альфа» знает, что минерал находится в Строке 1 (Север). Для неё равновероятны сектора со стоимостью 10, 20 и 90: $\mathbb{E}_A = \frac{10 + 20 + 90}{3} = 40$
Корпорация «Бета» знает, что минерал находится в Столбце 2 (Центр). Для неё равновероятны сектора со стоимостью 20, 40 и 60: $\mathbb{E}_B = \frac{20 + 40 + 60}{3} = 40$

Обе компании изначально оценивают астероид в 40 млн кредитов.

Шаг 2. Динамика раскрытия информации по раундам

Раунд 1: На табло загорается пара (40; 40).

Аналитики «Альфы» рассуждают: «У нас Строка 1, и среднее равно 40. Каким мог быть столбец конкурента, если его среднее тоже равно 40?»
- Среднее Столбца 1: $(10 + 0 + 50)/3 = 20 \ne 40$ .
- Среднее Столбца 2: $(20 + 40 + 60)/3 = 40$ .
- Среднее Столбца 3: $(90 + 80 + 70)/3 = 80 \ne 40$ .
«Альфа» однозначно понимает: у «Беты» Столбец 2! Зная Строку 1 и Столбец 2, «Альфа» точно вычисляет клетку — это 20.
Аналитики «Беты» рассуждают: «У нас Столбец 2. Какая строка могла дать "Альфе" среднее 40?»
- Строка 1: $(10 + 20 + 90)/3 = 40$ (подходит).
- Строка 2: $(0 + 40 + 80)/3 = 40$ (подходит).
- Строка 3: $(50 + 60 + 70)/3 = 60 \ne 40$ (исключается).
«Бета» понимает, что минерал либо в Строке 1, либо в Строке 2. Новое матожидание «Беты»: $(20 + 40)/2 = 30$ .

Раунд 2: На табло появляется пара (20; 30).

«Альфа» уже знает точный сектор, её оценка не меняется: 20.
«Бета» видит, что оценка «Альфы» упала до 20. Это возможно только если «Альфа» точно узнала клетку (Строка 1 и Столбец 2). Значит, у «Альфы» Строка 1! Теперь «Бета» тоже точно знает, что минерал в клетке (Север; Центр).

Раунд 3: На табло загорается пара (20; 20).

Оценки сравнялись и больше не меняются. Процесс останавливается. Всего проведено 3 раунда.

Шаг 3. Анализ возможности сделки

Сделка не состоится.

В процессе публичного обмена оценками частная информация сторон превратилась в общее знание (common knowledge). Обе компании пришли к одинаковой оценке ценности актива (20 млн). При отсутствии различий в предпочтениях риска или ликвидности торговля рациональных агентов с одинаковыми ожиданиями невозможна.

Этот результат иллюстрирует Теорему Ауманна о согласии (Aumann's Agreement Theorem, 1976) и вытекающую из нее Теорему о невозможности торговли Милгрома-Стокки (No-Trade Theorem, 1982).