Подготовка к олимпиадам по экономике

В Республике Нэш работает единственный коммерческий банк «Даймонд», который обслуживает $N = 120$ инвесторов. Изначально каждый инвестор вносит на депозит 1 миллион песо. Итоговый капитал банка составляет 120 миллионов.

Банк инвестирует все собранные средства в долгосрочный макроэкономический мегапроект. У этого проекта есть технологическая особенность (неликвидность):

Если дождаться завершения проекта во Втором периоде (Завтра), каждый вложенный миллион принесет $R = 2$ миллиона песо.
Если банк будет вынужден экстренно ликвидировать часть активов в Первом периоде (Сегодня), то продажа оборудования на вторичном рынке принесет лишь $L = 0.5$ миллиона за каждый изначально вложенный миллион.

По условиям депозитного договора любой инвестор имеет право потребовать свои деньги обратно Сегодня. Банк обещает выплатить ровно 1 миллион песо каждому, кто придет Сегодня. Все деньги, которые останутся от проекта Завтра (после выплат сегодняшним вкладчикам), банк поровну разделит между теми терпеливыми инвесторами, которые не стали забирать вклады.

Анатомия банковской паники (Свободный рынок). Пусть Сегодня свои вклады забирают $w$ инвесторов:
- а) Выведите функцию выплаты терпеливому инвестору $C_2(w)$ — сумму, которую он получит Завтра, в зависимости от количества паникеров $w$ .
- б) Найдите критический порог паникеров $w^*$ , при котором терпеливому инвестору становится выгоднее бежать в банк Сегодня, чем ждать до Завтра.
- в) Опишите два симметричных равновесия по Нэшу в этой игре. Рассчитайте ожидаемый выигрыш каждого агента в обоих случаях. (Примечание: если у банка заканчиваются деньги Сегодня, он распределяет остатки среди прибежавших случайным образом).
Вертолет Бена (Вмешательство ЦБ). В экономике начинается кризис доверия. Чтобы спасти финансовую систему, глава Центрального банка Бен открывает «дисконтное окно». Теперь, если банку «Даймонд» нужны наличные Сегодня, он не продает оборудование за бесценок, а берет у ЦБ кредит под нулевой реальный процент. Завтра банк возвращает долг ЦБ из выручки от мегапроекта, а остаток делит между терпеливыми вкладчиками:
- а) Выведите новую функцию выплаты терпеливому инвестору $C_2^{new}(w)$ .
- б) Докажите математически, что вмешательство ЦБ полностью ликвидирует «плохое равновесие», даже если все инвесторы настроены пессимистично.

💡 Решение

Шаг 1. Анализ модели на свободном рынке

Чтобы выплатить $w$ миллионов песо сегодня при ликвидационной стоимости $L = 0.5$ , банку необходимо ликвидировать активов на сумму: $I_{liq} = \frac{w}{0.5} = 2w$

Для продолжения проекта до Завтра остается объем активов: $I_{rem} = 120 - 2w$

Завтра эти активы принесут доходность $R = 2$ , то есть суммарная выручка составит $2(120 - 2w) = 240 - 4w$ . Этот объем делится поровну между оставшимися $(120 - w)$ инвесторами.

а) Функция выплаты во втором периоде: $C_2(w) = \frac{240 - 4w}{120 - w}$

б) Критический порог паникеров:
Инвестору выгоднее ждать до Завтра, пока выплата $C_2(w) > 1$ (номинал сегодняшней выплаты): $\frac{240 - 4w}{120 - w} > 1 \iff 240 - 4w > 120 - w \iff 3w < 120 \iff w < 40$

Следовательно, критический порог составляет $w^* = 40$ . Если ожидается более 40 паникеров, рациональный агент сам побежит в банк Сегодня.

в) Два равновесия по Нэшу:

Хорошее равновесие ( $w = 0$ ): Никто не паникует. Все ждут Второго периода и получают по $C_2(0) = \frac{240}{120} = 2$ млн песо.
Плохое равновесие ( $w = 120$ ): Все 120 инвесторов бегут в банк. Банк ликвидирует 100% своих активов и получает $120 \times 0.5 = 60$ млн песо. Этих денег хватает, чтобы полностью удовлетворить только первые 60 заявок. Ожидаемый выигрыш каждого инвестора: $\frac{60}{120} \times 1 = 0.5$ млн песо.

Шаг 2. Роль кредитора последней инстанции (ЦБ)

При поддержке ЦБ банку не требуется ликвидировать активы за бесценок. Он занимает $w$ миллионов песо у регулятора, а проект работает на полную мощность ( $120$ млн), принося Завтра выручку $120 \times 2 = 240$ млн песо.

После возврата долга ЦБ ( $w$ млн) оставшиеся деньги делятся между $(120 - w)$ инвесторами: $C_2^{new}(w) = \frac{240 - w}{120 - w}$

Доказательство устойчивости:
Для любого физически возможного числа паникеров $w \in [0; 119]$ справедливо: $240 - w > 120 - w \implies C_2^{new}(w) > 1$

Выплата Завтра при любом поведении остальных участников гарантированно строго больше 1 млн песо. Стратегия «ждать» становится строго доминирующей. Стимул бежать в банк исчезает, и плохое равновесие перестает существовать.

Исторический и теоретический контекст

Эта задача объединяет две фундаментальные концепции нобелевских лауреатов по экономике 2022 года:

Модель Даймонда-Дибвига (1983): Банки создают общественную полезность через трансформацию сроков ликвидности, но эта же природа порождает уязвимость к самосбывающимся кризисам доверия.
Концепция Бена Бернанке: Массовый крах банков во время Великой депрессии был причиной затяжной рецессии из-за разрушения кредитного канала. Предоставление экстренной ликвидности (дисконтное окно ЦБ как lender of last resort) снимает панику без необходимости реального расходования резервов.