Подготовка к олимпиадам по экономике

Элитный фитнес-клуб «Железный Арнольд» продает годовые абонементы на персональные тренировки. Год строго поделен на два независимых сезона: Зимне-Весенний (период 1) и Летне-Осенний (период 2).

В каждом сезоне обратная функция спроса типичного клиента на тренировки задана как $P = 60 - Q$ , где $Q$ — число тренировок, а $P$ — цена одной тренировки. Издержки клуба на проведение $Q$ тренировок в любом из сезонов составляют $TC = 0{,}5Q^2$ (тренировки — это услуга, их невозможно произвести впрок или «перенести» на другой сезон).

Статус-кво: Исторически клуб продавал жесткий контракт «Подснежник», по которому клиент обязан выкупить 5 тренировок в 1-м периоде и 35 тренировок во 2-м периоде.

Конфликт: Выпускник РЭШ, став новым директором клуба, решает изменить структуру контракта $(Q_1, Q_2)$ , чтобы максимизировать годовую прибыль. Однако рынок высококонкурентен: если новый контракт принесет клиенту суммарный потребительский излишек (за оба периода) меньше, чем старый контракт «Подснежник», клиент уйдет к конкурентам (сработает ограничение участия — Participation Constraint).

Анализ статуса-кво. Рассчитайте текущую прибыль клуба и суммарный излишек клиента от контракта «Подснежник».
Ловушка безусловной монополии. Что произошло бы, если бы директор установил объемы тренировок по правилам классической безусловной монополии, проигнорировав угрозу ухода клиентов?
Оптимальный контракт. Найдите оптимальные объемы $(Q_1, Q_2)$ нового контракта, которые максимизируют прибыль клуба, удерживая клиентов. Рассчитайте эту новую максимальную прибыль.

💡 Решение

Шаг 1. Анализ контракта «Подснежник» (Статус-кво)

Потребительский излишек в каждом периоде — это площадь треугольника под кривой спроса: $CS = \frac{1}{2}Q(60 - P) = 0{,}5Q^2$

Излишек клиентов от старого контракта ( $Q_1 = 5, Q_2 = 35$ ):

$CS_1 = 0{,}5(5^2) = 12{,}5$
$CS_2 = 0{,}5(35^2) = 612{,}5$
Суммарный резервный излишек: $CS_0 = 12{,}5 + 612{,}5 = 625$

Прибыль клуба в каждом периоде: $\Pi = P \cdot Q - TC = Q(60 - Q) - 0{,}5Q^2 = 60Q - 1{,}5Q^2$

Период 1: $\Pi_1 = 60(5) - 1{,}5(25) = 300 - 37{,}5 = 262{,}5$
Период 2: $\Pi_2 = 60(35) - 1{,}5(1225) = 2100 - 1837{,}5 = 262{,}5$
Текущая годовая прибыль: $\Pi_0 = 262{,}5 + 262{,}5 = 525$ д.е.

Шаг 2. Ловушка безусловной монополии

Если бы клуб максимизировал прибыль независимо в каждом периоде без учета ограничения участия: $MR = MC \implies 60 - 2Q = Q \implies 3Q = 60 \implies Q^* = 20$

Прибыль клуба составила бы: $2 \times [20(40) - 0{,}5(400)] = 2 \times 600 = 1200$

Однако потребительский излишек при таком контракте равен: $CS_m = 2 \times 0{,}5(20^2) = 400$

Так как $400 < 625$ , клиенты откажутся от предложения и уйдут. Точка безусловного максимума недостижима.

Шаг 3. Оптимизация с ограничением участия

Клуб решает задачу условной оптимизации: $\Pi(Q_1, Q_2) = 60(Q_1 + Q_2) - 1{,}5(Q_1^2 + Q_2^2) \to \max$ при ограничении на удержание клиентов: $CS_1 + CS_2 \ge 625 \implies 0{,}5(Q_1^2 + Q_2^2) \ge 625 \implies Q_1^2 + Q_2^2 \ge 1250$

Точка безусловного максимума $(20, 20)$ лежит внутри запрещенной зоны ( $20^2 + 20^2 = 800 < 1250$ ). Следовательно, оптимум лежит строго на границе допустимого множества: $Q_1^2 + Q_2^2 = 1250$

Подставив границу в функцию прибыли, получаем: $\Pi = 60(Q_1 + Q_2) - 1{,}5(1250) = 60(Q_1 + Q_2) - 1875$

Шаг 4. Максимизация на границе и итог

Для максимизации суммы $(Q_1 + Q_2)$ при фиксированной сумме квадратов $Q_1^2 + Q_2^2 = 1250$ необходимо положить $Q_1 = Q_2$ : $2Q^2 = 1250 \implies Q^2 = 625 \implies Q = 25$

Клуб предложит симметричный контракт: по 25 тренировок в каждом сезоне.

Максимальная прибыль: $\Pi_{max} = 60(25 + 25) - 1875 = 3000 - 1875 = 1125 \text{ д.е.}$

Экономический вывод: Клуб сохраняет благосостояние клиентов на прежнем уровне ( $CS = 625$ ), но за счет устранения сезонного перекоса в издержках увеличивает годовую прибыль более чем в 2 раза (с 525 до 1125 д.е.).