Подготовка к олимпиадам по экономике

Два знаменитых шеф-повара, Артур ( $A$ ) и Борис ( $B$ ), оказались на необитаемом острове. Из провизии им удалось спасти только два ценных ингредиента: Трюфели ( $T$ ) и Шафран ( $S$ ). Торговля возможна только между ними.

Начальные запасы:

Шеф Артур: $E_A = (40T, 10S)$
Шеф Борис: $E_B = (10T, 40S)$

Предпочтения поваров:

Для Артура ингредиенты являются взаимодополняющими благами в пропорции 1:1: $U_A = \min(T_A, S_A)$
Для Бориса ресурсы являются абсолютными субститутами, причем трюфель ценится в 2 раза выше шафрана: $U_B = 2T_B + S_B$

Парето-эффективные распределения. Найдите все Парето-эффективные распределения ресурсов между поварами. Запишите это множество аналитически.
Ядро экономики. Выделите те Парето-эффективные распределения, на которые повара согласятся добровольно (их полезность не ниже полезности начального запаса).
Конкурентное равновесие. Найдите равновесную пропорцию обмена (относительную цену $P_T / P_S$ ), при которой спрос на каждый ингредиент равен предложению. Как распределятся ресурсы и кто получит наибольшую выгоду?

💡 Решение

Шаг 1. Множество Парето-эффективных распределений

Совокупные запасы благ в коробке Эджуорта: $T_{total} = 40 + 10 = 50, \quad S_{total} = 10 + 40 = 50$

Для Артура оптимальные наборы лежат на луче $T_A = S_A$ . Любое отклонение неэффективно: если $T_A > S_A$ , излишек трюфелей не приносит Артуру полезности, но имеет положительную предельную полезность для Бориса. Безвозмездная передача излишка Борису увеличивает его благосостояние без ущерба для Артура (Парето-улучшение).

Следовательно, контрактная кривая (множество Парето-эффективных распределений) совпадает с диагональю коробки: $T_A = S_A, \quad T_A \in [0, 50]$

Шаг 2. Зона взаимовыгодного обмена (Ядро)

Полезность поваров при начальном распределении:

$U_A(40, 10) = \min(40, 10) = 10$
$U_B(10, 40) = 2(10) + 40 = 60$

Условия добровольного участия на контрактной кривой $T_A = S_A$ :

Для Артура: $U_A = T_A \ge 10$
Для Бориса: $U_B = 2(50 - T_A) + (50 - T_A) = 150 - 3T_A \ge 60 \implies 3T_A \le 90 \implies T_A \le 30$

Итог: Зона добровольного обмена задается отрезком: $T_A = S_A, \quad T_A \in [10, 30]$

Шаг 3. Рыночное равновесие по Вальрасу

Нормируем цену шафрана $P_S = 1$ , а цену трюфеля обозначим $p = P_T / P_S$ .

Предельная норма замещения Бориса постоянна: $MRS_B = 2$ .

При $p > 2$ Борис продает все трюфели.
При $p < 2$ Борис покупает только трюфели.
При $p = 2$ Борису безразлична любая структура корзины в пределах дохода.

Равновесие возможно только при $p = 2$ .

Доход Артура от продажи первоначального запаса: $I_A = 2(40) + 1(10) = 90$

Спрос Артура ( $T_A = S_A$ ): $2T_A + 1T_A = 90 \implies 3T_A = 90 \implies T_A^* = 30, \quad S_A^* = 30$

Остаток для Бориса: $T_B^* = 50 - 30 = 20, \quad S_B^* = 50 - 30 = 20$

Доход Бориса: $I_B = 2(10) + 1(40) = 60$ . Стоимость его корзины: $2(20) + 1(20) = 60$ . Бюджет сходится.

Олимпиадный вывод:
Полезность Артура утроилась (выросла с 10 до 30), а полезность Бориса осталась на базовом уровне ( $2(20) + 20 = 60$ ). Из-за линейности предпочтений Бориса весь излишек от торговли достался Артуру.