Подготовка к олимпиадам по экономике

Господин Джонсон живет в двухпериодной экономике. Его совокупный доход в первом периоде составляет $Y = 300$ тыс. долларов. Во втором периоде он выходит на пенсию и не работает ( $Y_2 = 0$ ).

Уровень полезности (счастья) задан мультипликативной функцией: $H(C_1, C_2) = C_1 \cdot C_2$

Теорема нейтральности (Рикардианская эквивалентность). Государство обязывает Джонсона отчислять 20% от дохода в пенсионный фонд с гарантированной доходностью 20% за период. На рынке Джонсон свободно берет кредиты и открывает депозиты под те же 20%.
- а) Найдите оптимальные объемы потребления $(C_1, C_2)$ .
- б) Государство повышает взнос до 40% (доходность прежняя). Докажите математически, что полезность Джонсона не изменится. Как изменится его депозит в банке?
Налог на настоящее (НДС). При отчислениях 20% государство вводит налог на потребление первого периода $t = 0{,}25$ (цена единицы $C_1$ возрастает на 25%). Во втором периоде налога нет. Найдите новые объемы $(C_1, C_2)$ и объясните реакцию будущего потребления.
Ловушка излома. Кризис: государство забирает 50% дохода в пенсионный фонд с доходностью 30%. При этом банки развели ставки: депозитная упала до 10% ( $r_d = 0{,}1$ ), а кредитная выросла до 40% ( $r_c = 0{,}4$ ). Возьмет ли Джонсон кредит, чтобы компенсировать провал текущего дохода?

💡 Решение

Шаг 1. Рикардианская нейтральность пенсионных взносов

а) Базовый сценарий (взнос 20%):

Располагаемый доход в 1-м периоде: $I_1 = 300 \times 0{,}8 = 240$ тыс.
Будущая пенсия: $I_2 = (300 \times 0{,}2) \times 1{,}2 = 72$ тыс.

При рыночной ставке $r = 20\%$ приведенное межвременное бюджетное ограничение: $C_1 + \frac{C_2}{1{,}2} = 240 + \frac{72}{1{,}2} = 300 \implies 1{,}2 C_1 + C_2 = 360$

Максимизация $H = C_1 C_2$ : по свойству логарифмических/мультипликативных предпочтений расходы на каждое благо делятся поровну: $1{,}2 C_1 = C_2 \implies 2{,}4 C_1 = 360 \implies C_1^* = 150, \quad C_2^* = 180$ Джонсон кладет в банк на депозит: $240 - 150 = 90$ тыс.

б) Увеличение взноса до 40%:

Располагаемый доход: $I_1 = 300 \times 0{,}6 = 180$ тыс.
Будущая пенсия: $I_2 = 120 \times 1{,}2 = 144$ тыс.
Приведенное богатство: $PV = 180 + \frac{144}{1{,}2} = 300$ тыс.

Бюджетное множество не сдвинулось. Оптимум остается прежним: $C_1^* = 150, C_2^* = 180$ . Джонсон просто сокращает добровольный банковский депозит с $90$ до $180 - 150 = 30$ тыс. Государство выполнило часть добровольных сбережений за него.

Шаг 2. Искажающий налог на текущее потребление

При взносе 20% ( $PV = 300$ ) и налоге $t = 0{,}25$ единица $C_1$ обходится в $1{,}25$ долл.: $1{,}25 C_1 + \frac{C_2}{1{,}2} = 300 \implies 1{,}5 C_1 + C_2 = 360$

В оптимуме $1{,}5 C_1 = C_2$ : $3 C_1 = 360 \implies C_1^* = 120, \quad C_2^* = 180$

Экономический вывод: Из-за единичной эластичности замещения функции Кобба-Дугласа эффект дохода и эффект замещения для блага $C_2$ взаимно уничтожились. Потребление в старости не изменилось, а весь груз налога пришелся на текущий период.

Шаг 3. Ловушка излома бюджетного ограничения

Координаты точки начального запаса (излома):

Текущий располагаемый доход: $I_1 = 300 \times 0{,}5 = 150$ тыс.
Будущая пенсия: $I_2 = 150 \times 1{,}3 = 195$ тыс.
Точка endowments: $E = (150, 195)$ .

Предельная норма замещения ( $MRS$ ) Джонсона в точке $E$ : $MRS = \frac{MU_1}{MU_2} = \frac{C_2}{C_1} = \frac{195}{150} = 1{,}3$

Сравним $MRS$ со ставками финансового рынка:

Условие сбережения на депозите: $MRS < 1 + r_d \implies 1{,}3 < 1{,}1$ (не выполняется).
Условие взятия кредита: $MRS > 1 + r_c \implies 1{,}3 > 1{,}4$ (не выполняется).

Поскольку $1 + r_d < MRS < 1 + r_c$ ( $1{,}1 < 1{,}3 < 1{,}4$ ), Джонсон находится на изломе. Любая транзакция на финансовом рынке снизит его полезность.

Ответ: Джонсон не станет брать кредит и останется строго в точке запаса: $C_1^* = 150$ тыс., $C_2^* = 195$ тыс.