Подготовка к олимпиадам по экономике

Консалтинговое агентство Васиссуалия продает проекты двум типам клиентов: Корпорациям и Стартапам. Обратные функции спроса заданы уравнениями: $P_c = 5600 - Q_c$ и $P_s = 4400 - Q_s$ .

Для выполнения 1 проекта требуется ровно одна команда. У агентства есть две технологии сборки команд:

Опция А: Команда состоит строго из 2 профессионалов.
Опция Б: Команда состоит из 1 профессионала и 5 студентов.

На обоих рынках труда фирма выступает единственным покупателем (монопсонистом). Кривые предложения труда имеют вид:

Студенты: $W_s = 200 + 0{,}02L_s$ .
Профессионалы: $W_p = 1000 + \frac{1}{6}L_p$ .

Рынок профессионалов физически ограничен: в городе проживает не более 1800 человек ( $L_p \le 1800$ ). Студентов можно нанимать в любом количестве.

Угроза арбитража: Корпорации готовы открывать фиктивные стартапы-прокладки, чтобы покупать проекты по более низким тарифам. Создание такой фирмы обходится корпорации ровно в 200 у.е. Васиссуалий обязан устанавливать цены так, чтобы исключить арбитраж: $P_c \le P_s + 200$ .

Агрегированные предельные издержки. Выведите агрегированную функцию предельных издержек $MC(Q)$ выполнения проектов и найдите точку излома, в которой наступает дефицит профессионалов.
Оптимальный контракт и структура найма. Определите оптимальные тарифы $(P_c, P_s)$ , объемы продаж $(Q_c, Q_s)$ и структуру найма (сколько профессионалов и студентов нанять), максимизируя суммарную прибыль с учетом угрозы арбитража.

💡 Решение

Шаг 1. Предельные факторные издержки (MFC)

Найдем предельные издержки на наем каждого фактора производства ( $MFC = (W \cdot L)'_L$ ):

Студенты: $TC_s = (200 + 0{,}02L_s)L_s = 200L_s + 0{,}02L_s^2 \implies MFC_s = 200 + 0{,}04L_s$
Профессионалы: $TC_p = (1000 + \frac{1}{6}L_p)L_p = 1000L_p + \frac{1}{6}L_p^2 \implies MFC_p = 1000 + \frac{1}{3}L_p$

Шаг 2. Безусловная оптимизация (до дефицита кадров)

Предельные затраты на производство одного проекта по технологиям А и Б:

$MC_A = 2 MFC_p = 2000 + \frac{2}{3}L_p$
$MC_B = 1 MFC_p + 5 MFC_s = 1000 + \frac{1}{3}L_p + 1000 + 0{,}2L_s = 2000 + \frac{1}{3}L_p + 0{,}2L_s$

Для минимизации общих издержек предельные затраты выравниваются: $MC_A = MC_B$ : $2000 + \frac{2}{3}L_p = 2000 + \frac{1}{3}L_p + 0{,}2L_s \implies \frac{1}{3}L_p = 0{,}2L_s$

Выразим занятость через количество проектов: $L_p = 2Q_A + Q_B$ , $L_s = 5Q_B$ : $\frac{1}{3}(2Q_A + Q_B) = 0{,}2(5Q_B) \implies \frac{2}{3}Q_A + \frac{1}{3}Q_B = Q_B \implies \frac{2}{3}Q_A = \frac{2}{3}Q_B \implies Q_A = Q_B$

До наступления дефицита кадров агентство делит портфель проектов строго пополам: $Q_A = 0{,}5Q$ и $Q_B = 0{,}5Q$ .

Потребность в профессионалах: $L_p = 2(0{,}5Q) + 0{,}5Q = 1{,}5Q$ $MC_{unconstrained} = 2000 + \frac{2}{3}(1{,}5Q) = 2000 + Q$

Шаг 3. Издержки с ограничениями (дефицит кадров)

Лимит рынка $L_p \le 1800$ активируется при: $1{,}5Q = 1800 \implies Q = 1200 \text{ проектов}$

При выпуске $Q > 1200$ занятость профи фиксируется на потолке: $L_p = 1800$ .
Тогда $2Q_A + Q_B = 1800$ . С учетом $Q_A + Q_B = Q$ , получаем: $Q_B = 2Q - 1800, \quad Q_A = 1800 - Q$ $L_s = 5Q_B = 10Q - 9000$

Совокупные издержки при $Q > 1200$ :

Зарплатный фонд профи: $W_p(1800) \times 1800 = (1000 + 300) \times 1800 = 2\,340\,000$
Зарплатный фонд студентов: $W_s(L_s) \times L_s = (200 + 0{,}02(10Q - 9000))(10Q - 9000) = 2Q^2 - 1600Q - 180\,000$

$TC_{constrained} = 2Q^2 - 1600Q + 2\,160\,000 \implies MC_{constrained} = 4Q - 1600$

В точке сопряжения $Q = 1200$ : $MC(1200) = 2000 + 1200 = 3200 = 4(1200) - 1600$ Функция предельных издержек непрерывна.

Шаг 4. Максимизация выручки с арбитражем

Ограничение арбитража активно: $P_c = P_s + 200$ . Обозначим $P_s = P$ , тогда $P_c = P + 200$ .
Объемы продаж:

$Q_c = 5600 - (P + 200) = 5400 - P$
$Q_s = 4400 - P$
$Q = Q_c + Q_s = 9800 - 2P \implies P = 4900 - 0{,}5Q$

Совокупная выручка: $TR(Q) = (P + 200)(5400 - P) + P(4400 - P) = -0{,}5Q^2 + 5000Q + 100\,000$ $MR(Q) = 5000 - Q$

Шаг 5. Равновесие, структура найма и прибыль

Приравниваем $MR = MC_{constrained}$ (в области $Q > 1200$ ): $5000 - Q = 4Q - 1600 \implies 5Q = 6600 \implies Q^* = 1320 \text{ проектов}$

Цены и продажи:

$P_s^* = 4900 - 0{,}5(1320) = 4240$ у.е. ( $Q_s^* = 160$ )
$P_c^* = 4240 + 200 = 4440$ у.е. ( $Q_c^* = 1160$ )

Структура команд:

Опция Б: $Q_B = 2(1320) - 1800 = 840$ проектов
Опция А: $Q_A = 1320 - 840 = 480$ проектов

Кадры: наняты все $1800$ профессионалов и $5 \times 840 = 4200$ студентов.

Финансовый результат:

$TR = 4440(1160) + 4240(160) = 5\,828\,800$ у.е.
$TC = 2(1320)^2 - 1600(1320) + 2\,160\,000 = 3\,532\,800$ у.е.
$\Pi_{max} = 5\,828\,800 - 3\,532\,800 = \mathbf{2\,296\,000}$ у.е.