Подготовка к олимпиадам по экономике

Фрилансер Павел располагает бюджетом времени $T = 10$ часов в сутки, которые он распределяет между трудом ( $h$ ) и досугом ( $L$ ). За каждый час работы он получает часовую ставку $w$ . Заработанный доход полностью расходуется на потребительские блага ( $C$ ) по цене $P = 1$ .

Павел не признает компромиссов: он ценит либо тотальный труд, либо абсолютный отдых. Его предпочтения описываются невыпуклой функцией полезности: $U(C, L) = C^2 + 64 L^2$

Свободный рынок. Пусть у Павла нет сторонних источников дохода.
- а) Выведите функцию индивидуального предложения труда $h(w)$ .
- б) Согласится ли Павел при какой-либо ставке $w$ работать ровно 5 часов в день? Обоснуйте математически.
Безусловный базовый доход (ББД). Государство выплачивает Павлу безусловный трансферт $V = 60$ д.е. в день независимо от факта работы. Выведите новую функцию предложения труда $h_{ubi}(w)$ . Как изменилась резервная заработная плата Павла и в чем заключается экономический парадокс?
Пособие по безработице. Правительство заменяет ББД целевым пособием: выплата $60$ д.е. начисляется исключительно безработным ( $h = 0$ ). При выходе на работу хотя бы на один час пособие аннулируется. Найдите новую резервную ставку заработной платы.

💡 Решение

Шаг 1. Свободный рынок и невыпуклые предпочтения

Бюджетное ограничение Павла: $C = w \cdot h = w(10 - L)$ .
Подставим его в целевую функцию: $U(L) = w^2(10 - L)^2 + 64 L^2 = (w^2 + 64)L^2 - 20w^2 L + 100w^2$

Коэффициент при $L^2$ строго положителен ( $w^2 + 64 > 0$ ), поэтому функция $U(L)$ строго выпукла вниз (парабола ветвями вверх).
Единственная стационарная точка производной является точкой глобального минимума полезности. Внутренних оптимумов не существует.

Ответ на пункт 1(б): Павел ни при каких условиях не согласится работать 5 часов. Из-за невыпуклости кривых безразличия любой компромисс минимизирует его благосостояние. Решение всегда угловое: либо $h = 0$ ( $L = 10$ ), либо $h = 10$ ( $L = 0$ ).

Сравнение полезности на границах:

Чистый досуг ( $L = 10, h = 0$ ): $C = 0 \implies U(10) = 0 + 64(10^2) = 6400$
Чистый труд ( $L = 0, h = 10$ ): $C = 10w \implies U(0) = (10w)^2 + 0 = 100w^2$

Павел выходит на работу, когда $U(0) > U(10)$ : $100w^2 > 6400 \implies w^2 > 64 \implies w > 8$

Функция предложения труда:

h(w) = \begin{cases} 0, & w < 8 \\ \{0; 10\}, & w = 8 \\ 10, & w > 8 \end{cases}

Шаг 2. Безусловный базовый доход (ББД) и парадокс экстремиста

При введении ББД бюджетное ограничение: $C = w \cdot h + 60$ .
Сопоставим угловые альтернативы:

Чистый досуг ( $L = 10, h = 0$ ): $C = 60 \implies U_{idle} = 60^2 + 64(10^2) = 3600 + 6400 = 10000$
Чистый труд ( $L = 0, h = 10$ ): $C = 10w + 60 \implies U_{work} = (10w + 60)^2$

Условие выхода на рынок труда: $(10w + 60)^2 > 10000 \implies 10w + 60 > 100 \implies 10w > 40 \implies w > 4$

Экономический парадокс:
В классической теории нетрудовой доход при нормальных благах снижает стимулы к занятости (резервная заработная плата растет). Здесь же резервная ставка упала в 2 раза: с $w=8$ до $w=4$ !

Причина кроется в возрастающей предельной полезности потребления: $MU_C = 2C$ . Стартовая подушка в $60$ д.е. резко увеличивает ценность каждого дополнительного доллара дохода, стимулируя экстремала работать на полную мощность уже при умеренной оплате труда.

Шаг 3. Пособие по безработице и ловушка бедности

Если выплата $60$ д.е. привязана к статусу безработного, при выходе на работу ( $h > 0$ ) пособие сгорает ( $V = 0$ ):

Чистый досуг с пособием ( $h = 0$ ): $C = 60 \implies U = 10000$
Чистый труд без пособия ( $h = 10$ ): $C = 10w \implies U = (10w)^2 = 100w^2$

Условие выхода на работу: $100w^2 > 10000 \implies w^2 > 100 \implies w > 10$

Вывод: Целевое пособие порождает классическую «ловушку бедности» (Welfare Trap). Неявная 100%-я ставка налога на выход из безработицы повышает резервную зарплату до $w = 10$ , полностью выключая экономические стимулы Павла к труду при ставках $w \in [4; 10]$ .