Подготовка к олимпиадам по экономике

В 1970 году нобелевский лауреат Амартия Сен сформулировал парадокс о несовместимости принципа Парето-эффективности и принципа минимального либерализма (права индивида суверенно определять положение дел в границах личной сферы).

Два соседа по таунхаусу, Анна и Борис, решают, украшать ли свой балкон неоновой иллюминацией ( $1$ ) или оставить его темным ( $0$ ). Возможны четыре исхода $(A, B)$ , где $A$ — решение Анны, $B$ — решение Бориса.

Предпочтения жильцов (уровни полезности):

Анна (эстет): Предпочитает темноту на обоих балконах $(0,0) \to 100$ ед. Если неон неизбежен, она хочет контролировать его сама: $(1,0) \to 60$ ед. Чужая безвкусная гирлянда приносит ей дискомфорт: $(0,1) \to 20$ ед. Одновременное включение выбивает щиток: $(1,1) \to 0$ ед.
Борис (хулиган): Больше всего любит любоваться неоном на балконе Анны из своего темного окна, экономя электричество: $(1,0) \to 100$ ед. На втором месте гирлянда на собственном балконе: $(0,1) \to 60$ ед. Темнота кругом его удручает: $(0,0) \to 20$ ед. Авария на линии приносит: $(1,1) \to 0$ ед.

Либерализм и Равновесие Нэша. Составьте биматрицу игры. Найдите чистое равновесие Нэша при одновременном независимом выборе и выигрыши участников.
Парадокс Сена и Парето-эффективность. Является ли найденное равновесие Парето-оптимальным? Укажите исход, Парето-доминирующий равновесие, и объясните фундаментальный конфликт между личной свободой и общественным оптимумом.
Нарушение транзитивности. Попытайтесь составить непротиворечивый общественный рейтинг трех исходов: $(0,0)$ , $(1,0)$ и $(0,1)$ . В чем математически выражается парадокс Сена?
Дизайн механизмов и Теорема Коуза.
- а) Рассмотрите 4 механизма: Контракт «Б» (принудительно фиксирует $(1,0)$ ), Контракт «В» (принудительно фиксирует $(0,1)$ ), Очередность Анны (Анна ходит первой) и Очередность Бориса (Борис ходит первым). Покажите, какие механизмы попарно эквивалентны.
- б) Пусть исполнение договоров обеспечивается штрафом $F$ , выплачиваемым пострадавшей стороне при одностороннем нарушении. Найдите минимальный штраф $F$ для устойчивости каждого контракта. Подпишут ли соседи Контракт «В»?

💡 Решение

Шаг 1. Платежная матрица и Равновесие Нэша

Сформируем нормальную форму игры, где в ячейках указаны выигрыши $(U_A, U_B)$ :

Анна \ Борис	0 (Без неона)	1 (Неон)
0 (Без неона)	(100, 20)	(20, 60)
1 (Неон)	(60, 100)	(0, 0)

Анализ доминирования:

Для Анны: при $B = 0$ выгоднее $0$ ( $100 > 60$ ); при $B = 1$ выгоднее $0$ ( $20 > 0$ ). Стратегия $A = 0$ (не включать неон) — строго доминирующая.
Для Бориса: зная, что Анна всегда выберет $0$ , Борис выбирает между $20$ при $B = 0$ и $60$ при $B = 1$ . Оптимальный ответ: $B = 1$ .

Единственное равновесие по Нэшу: профиль $(0, 1)$ .
Выигрыши участников: $U_A = 20, \quad U_B = 60$ .

Шаг 2. Конфликт либерализма и Парето-эффективности

Сравним равновесный профиль $(0, 1)$ с альтернативой $(1, 0)$ :

Полезность Анны: $60 > 20$ ( $+40$ )
Полезность Бориса: $100 > 60$ ( $+40$ )

Исход $(1, 0)$ строго Парето-доминирует рыночное равновесие $(0, 1)$ .
Предоставление гражданам безусловного суверенитета над своими балконами приводит общество в Парето-неоптимальное состояние из-за некомпенсированных психологических экстерналий.

Шаг 3. Нарушение транзитивности (Цикл Сена)

Попытаемся агрегировать общественный порядок предпочтений:

$(0, 1) \succ (0, 0)$ — по принципу либерализма Бориса (его балкон при выключенном балконе Анны).
$(0, 0) \succ (1, 0)$ — по принципу либерализма Анны (ее балкон при выключенном балконе Бориса).
$(1, 0) \succ (0, 1)$ — по принципу Парето (обоим строго лучше).

Возникает замкнутый логический цикл: $(0, 1) \succ (0, 0) \succ (1, 0) \succ (0, 1)$ Транзитивность коллективного выбора разрушается.

Шаг 4. Дизайн механизмов и Теорема Коуза

а) Анализ эквивалентности механизмов:

Механизм 1 $\equiv$ Механизм 3 (Исход $(1, 0)$ ): Если Анна ходит первой в динамической игре, она просчитывает реакцию Бориса: при $A = 0$ Борис выберет $B = 1$ (Анна получит $20$ ); при $A = 1$ Борис выберет $B = 0$ (Анна получит $60$ ). Анна сознательно выбирает $A = 1$ . Механизм 1 юридически закрепляет этот же результат.
Механизм 2 $\equiv$ Механизм 4 (Исход $(0, 1)$ ): Если Борис ходит первым, он знает, что у Анны стратегия $A = 0$ строго доминирует. Борис сразу выбирает $B = 1$ . Механизм 2 фиксирует ту же точку.

б) Расчет штрафов и стимулы к переговорам:

Для Механизма 1 (профиль $(1,0)$ , где $U_A = 60, U_B = 100$ ):
Борису нарушать невыгодно ( $0 < 100$ ). Анне выгодно выключить неон ради $100$ , но она заплатит штраф: $60 \ge 100 - F \implies \mathbf{F \ge 40}$ .
Для Механизма 2 (профиль $(0,1)$ , где $U_A = 20, U_B = 60$ ):
Профиль $(0,1)$ является равновесием по Нэшу, поэтому одностороннее отклонение невыгодно даже при $F = 0$ .

Однако рациональные участники никогда не подпишут Контракт «В», поскольку исход $(0, 1)$ Парето-доминируется исходом $(1, 0)$ , и тратить трансакционные издержки на соглашение ради худшего для обоих исхода бессмысленно.