Подготовка к олимпиадам по экономике

Митрофан обнаружил на чердаке коллекцию редких роботов-трансформеров Triplechanger G1 образца 1985 года в количестве 33 штук (базовые роботы G1). Каждый робот G1 может быть необратимо разобран на 2 робота G2.

Анализ вторичного рынка показал следующие параметры спроса:

Рынок G1: Первого робота можно продать за $100$ у.е., а цена каждого следующего падает на $2$ у.е. При этом на каждого проданного Митрофаном робота конкуренты выбрасывают на рынок еще $2$ таких же робота (суммарный запас конкурентов равен 20 роботам G1).
Рынок G2: Первого робота G2 можно продать за $40$ у.е., цена каждого следующего падает на $1$ у.е. В этом сегменте конкурентов нет.
Рынок комплектов K1 («Боевой взвод»): Коллекционеры покупают наборы из [1 робот G1 + 2 робота G2]. Первый комплект продается за $200$ у.е., цена каждого следующего падает на $20$ у.е.

Базовое распределение. Найдите оптимальное распределение 33 базовых роботов по трем рынкам (G1, G2, K1) и максимальную выручку Митрофана.
Глубокая трансформация и альтернативная стоимость. Митрофан выяснил, что каждого робота G2 можно разобрать на 2 робота G3, причем:
- Рынок G3 абсолютно ликвиден: роботов G3 скупают по фиксированной цене $10$ у.е. за штуку в неограниченном объеме.
- Появился рынок комплектов K2 («Полная эволюция»): набор из [1 робот G1 + 2 робота G2 + 4 робота G3]. Первый комплект стоит $350$ у.е., цена каждого следующего падает на $30$ у.е.
Определите новую стратегию распределения по пяти рынкам и величину упущенной выгоды (на сколько выросла бы выручка).

💡 Решение

Шаг 1. Предельная выручка на единицу базового ресурса (Часть 1)

Пересчитаем отдачу каждого рынка в единицах базового робота G1:

Рынок G1 (затраты: 1 баз. робот):
При продаже $q_1$ роботов Митрофаном конкуренты продают $2q_1$ , общий объем $Q = 3q_1$ .
$P_1 = 100 - 2(3q_1 - 1) = 102 - 6q_1$
$TR_1(q_1) = 102q_1 - 6q_1^2 \implies MR_1(q_1) = TR(q_1) - TR(q_1 - 1) = 108 - 12q_1$
Рынок G2 (затраты: 1 баз. робот = 2 шт. G2):
$P_2 = 40 - (q_2 - 1) = 41 - q_2 \implies TR_2 = 41q_2 - q_2^2 \implies MR_2(q_2) = 42 - 2q_2$
Предельная выручка за пару роботов G2 (на 1 базового робота $x$ ):
$MR_{G2\_base}(x) = MR_2(2x - 1) + MR_2(2x) = (44 - 4x) + (42 - 4x) = 86 - 8x$
Рынок комплектов K1 (затраты: 1 G1 + 2 G2 = 2 баз. робота):
$P_{K1} = 200 - 20(q - 1) = 220 - 20q \implies TR_{K1} = 220q - 20q^2 \implies MR_{K1}(q) = 240 - 40q$
В расчете на 1 базовый робот:
$MR_{K1\_base}(q) = \frac{240 - 40q}{2} = 120 - 20q$

Шаг 2. Оптимизация без рынка G3

Определим емкость рынков до момента обнуления предельной выручки ( $MR \ge 0$ ):

Рынок G1: $108 - 12q_1 \ge 0 \implies q_1 \le 9$ роботов.
Рынок G2: $86 - 8x \ge 0 \implies x \le 10$ пар ( $20$ роботов G2).
Рынок K1: $120 - 20q \ge 0 \implies q \le 6$ комплектов (требуется $6 \times 2 = 12$ баз. роботов).

Суммарная потребность в сырье для насыщения всех рынков:
$9 + 10 + 12 = 31 \text{ робот} < 33 \text{ робота}$

Ресурс в избытке, альтернативная стоимость базового робота равна нулю ( $\lambda = 0$ ).
Митрофан продает объемы, максимизирующие выручку на каждом направлении:

Выручка G1: $TR_1(9) = 102(9) - 6(81) = 432$ у.е.
Выручка G2: $TR_2(20) = 41(20) - 400 = 420$ у.е.
Выручка K1: $TR_{K1}(6) = 220(6) - 20(36) = 600$ у.е.

Итог пункта 1: Максимальная выручка составляет $432 + 420 + 600 = \mathbf{1452}$ у.е. На чердаке остается $33 - 31 = 2$ неиспользованных робота G1.

Шаг 3. Альтернативная стоимость и рынок K2

Цепочка трансформации: $1 \text{ G1} \to 2 \text{ G2} \to 4 \text{ G3}$ .
Возможность сбывать неограниченное число G3 по $10$ у.е. формирует нижний порог доходности базового робота:
$\lambda = 4 \times 10 = \mathbf{40 \text{ у.е.}}$

Рынок K2 («Полная эволюция»):
Набор включает [1 G1 + 2 G2 + 4 G3], что требует $1 + 1 + 1 = 3$ базовых робота.
$P_{K2} = 350 - 30(q - 1) = 380 - 30q \implies TR_{K2} = 380q - 30q^2 \implies MR_{K2}(q) = 410 - 60q$
Удельная предельная выручка на 1 базовый робот:
$MR_{K2\_base}(q) = \frac{410 - 60q}{3} = 136{,}67 - 20q$

Шаг 4. Распределение ресурсов с порогом отсечения

Продаем на каждом рынке до тех пор, пока удельная предельная выручка не упадет ниже $\lambda = 40$ :

Рынок G1: $108 - 12q_1 \ge 40 \implies 12q_1 \le 68 \implies q_1^* = 5$ шт.
Затраты: $5$ роботов. Выручка: $TR_1(5) = 102(5) - 6(25) = 360$ у.е.
Рынок G2: $86 - 8x \ge 40 \implies 8x \le 46 \implies x^* = 5$ пар ( $10$ шт. G2).
Затраты: $5$ роботов. Выручка: $TR_2(10) = 41(10) - 100 = 310$ у.е.
Рынок K1: $120 - 20q \ge 40 \implies 20q \le 80 \implies q^* = 4$ комплекта.
Затраты: $4 \times 2 = 8$ роботов. Выручка: $TR_{K1}(4) = 220(4) - 20(16) = 560$ у.е.
Рынок K2: $136{,}67 - 20q \ge 40 \implies 20q \le 96{,}67 \implies q^* = 4$ комплекта.
Затраты: $4 \times 3 = 12$ роботов. Выручка: $TR_{K2}(4) = 380(4) - 30(16) = 1040$ у.е.
Рынок G3:
Потрачено базовых роботов: $5 + 5 + 8 + 12 = 30$ шт.
Остаток: $33 - 30 = 3$ базовых робота разбираются в $3 \times 4 = 12$ шт. G3.
Выручка: $12 \times 10 = 120$ у.е.

Финансовый результат:

Совокупная выручка: $360 + 310 + 560 + 1040 + 120 = \mathbf{2390}$ у.е.
Прирост благосостояния (упущенная выгода): $2390 - 1452 = \mathbf{938}$ у.е.