Подготовка к олимпиадам по экономике

Предприниматель Молоков производит из сырого молока два продукта: Пастеризованное молоко ( $m$ ) и Кефир ( $k$ ). Технологический норматив: из 1 литра сырья получается ровно 1 литр любого готового продукта.

Обратные функции спроса на потребительском рынке:

Молоко: $P_m = 320 - 0{,}001Q_m$
Кефир: $P_k = 440 - 0{,}001Q_k$

Переменные издержки на розлив и упаковку (без учета стоимости сырья) составляют 20 руб./л для молока и 40 руб./л для кефира.

Год 1 (Жесткий контракт): Ферма «Аносино» поставляет ровно 100 000 литров сырого молока по фиксированной цене 30 руб./литр. Изменить объем закупки невозможно.

Год 2 (Ступенчатые поставки): Сохраняя базовый контракт, Молоков договаривается с фермой «Совхозино» о закупке дополнительных партий строго по 20 000 литров. Каждая следующая партия обходится дороже предыдущей. Стоимость $n$ -й партии ( $n = 1, 2, 3, \dots$ ) задана формулой: $C(n) = 2\,200\,000 + 400\,000 \cdot n$

Оптимизация при фиксированном сырье. Найдите чистую предельную выручку ( $MNR$ ) на сырое молоко в обоих направлениях, равновесные объемы $(Q_m, Q_k)$ , цены и прибыль Молокова в Первый год.
Агрегированный спрос на ресурс. Выведите общую функцию теневой цены сырья $\lambda(Q)$ при совместном производстве обоих продуктов.
Дискретное масштабирование. Сколько дополнительных партий сырья выгодно приобрести Молокову во Второй год? Рассчитайте итоговый объем переработки и новую прибыль.

💡 Решение

Шаг 1. Чистая предельная выручка (MNR) и агрегированная ценность

Чистая предельная выручка отражает предельную доходность единицы сырья за вычетом прямых затрат на розлив ( $MNR = MR - MC_{proc}$ ):

Молоко: $MR_m = 320 - 0{,}002Q_m \implies MNR_m = (320 - 0{,}002Q_m) - 20 = 300 - 0{,}002Q_m$
Кефир: $MR_k = 440 - 0{,}002Q_k \implies MNR_k = (440 - 0{,}002Q_k) - 40 = 400 - 0{,}002Q_k$

Для оптимального распределения выравниваем чистую предельную выручку: $MNR_m = MNR_k = \lambda$ .
Выразим выпуск через теневую цену сырья $\lambda$ :

$Q_m = 150\,000 - 500\lambda$ (при $\lambda \le 300$ )
$Q_k = 200\,000 - 500\lambda$ (при $\lambda \le 400$ )

При совместном производстве ( $\lambda \le 300$ ) совокупная потребность в сырье: $Q_{total} = Q_m + Q_k = 350\,000 - 1000\lambda \implies \mathbf{\lambda(Q) = 350 - 0{,}001Q}$

Шаг 2. Равновесие Первого года

При жестком объеме сырья $Q = 100\,000$ литров теневая цена составляет: $\lambda = 350 - 0{,}001(100\,000) = 250 \text{ руб./литр}$

Распределение сырья по продуктам:

Молоко: $Q_m = 150\,000 - 500(250) = \mathbf{25\,000 \text{ литров}}$
Кефир: $Q_k = 200\,000 - 500(250) = \mathbf{75\,000 \text{ литров}}$

Цены реализации:

$P_m = 320 - 0{,}001(25\,000) = 295$ руб.
$P_k = 440 - 0{,}001(75\,000) = 365$ руб.

Финансовый результат Первого года:

Выручка: $TR = 295(25\,000) + 365(75\,000) = 34\,750\,000$ руб.
Затраты на сырье: $30 \times 100\,000 = 3\,000\,000$ руб.
Затраты на переработку: $20(25\,000) + 40(75\,000) = 3\,500\,000$ руб.
Прибыль Первого года: $\Pi_1 = 34\,750\,000 - 6\,500\,000 = \mathbf{28\,250\,000}$ руб.

Шаг 3. Дискретный анализ партий во Второй год

Прирост чистой выручки от партии объемом $\Delta Q = 20\,000$ литров равен произведению объема партии на среднюю теневую цену сырья на интервале: $\Delta TNR = \lambda_{avg} \cdot \Delta Q$ . Сравним его со стоимостью партии $C(n)$ :

Партия 1 ( $n=1$ , объем $100\text{к} \to 120\text{к}$ ):
$\lambda_{avg} = \lambda(110\,000) = 350 - 110 = 240$ руб./л.
$\Delta TNR_1 = 240 \times 20\,000 = 4\,800\,000$ руб.
Стоимость партии: $C(1) = 2\,200\,000 + 400\,000(1) = 2\,600\,000$ руб.
Чистая выгода: $+2\,200\,000$ руб. (Покупаем)
Партия 2 ( $n=2$ , объем $120\text{к} \to 140\text{к}$ ):
$\lambda_{avg} = \lambda(130\,000) = 220$ руб./л.
$\Delta TNR_2 = 220 \times 20\,000 = 4\,400\,000$ руб.
Стоимость партии: $C(2) = 2\,200\,000 + 400\,000(2) = 3\,000\,000$ руб.
Чистая выгода: $+1\,400\,000$ руб. (Покупаем)
Партия 3 ( $n=3$ , объем $140\text{к} \to 160\text{к}$ ):
$\lambda_{avg} = \lambda(150\,000) = 200$ руб./л.
$\Delta TNR_3 = 200 \times 20\,000 = 4\,000\,000$ руб.
Стоимость партии: $C(3) = 2\,200\,000 + 400\,000(3) = 3\,400\,000$ руб.
Чистая выгода: $+600\,000$ руб. (Покупаем)
Партия 4 ( $n=4$ , объем $160\text{к} \to 180\text{к}$ ):
$\lambda_{avg} = \lambda(170\,000) = 180$ руб./л.
$\Delta TNR_4 = 180 \times 20\,000 = 3\,600\,000$ руб.
Стоимость партии: $C(4) = 2\,200\,000 + 400\,000(4) = 3\,800\,000$ руб.
Убыток: $-200\,000$ руб. (Отказ)

Шаг 4. Итоговые показатели Второго года

Молоков закупает ровно 3 дополнительные партии ( $60\,000$ литров).
Общий объем сырья: $Q_{total} = 100\,000 + 60\,000 = \mathbf{160\,000 \text{ литров}}$ .

Финальная теневая цена: $\lambda = 350 - 0{,}001(160\,000) = 190$ руб./л.

Выпуск молока: $Q_m = 150\,000 - 500(190) = \mathbf{55\,000 \text{ литров}}$
Выпуск кефира: $Q_k = 200\,000 - 500(190) = \mathbf{105\,000 \text{ литров}}$

Суммарная прибыль Второго года:
$\Pi_2 = \Pi_1 + \Delta \Pi = 28\,250\,000 + (2\,200\,000 + 1\,400\,000 + 600\,000) = \mathbf{32\,450\,000 \text{ рублей}}$