Подготовка к олимпиадам по экономике

Межпланетная корпорация «НеоМайнинг» добывает два ресурса: Неодим ( $X$ ) и Иттрий ( $Y$ ). Добыча ведется в двух независимых отдаленных регионах:

Регион «Альфа»: Технология с постоянными альтернативными издержками: $Y_A = 2000 - 20X_A$ , где $X_A \in [0, 100]$ тонн.
Регион «Бета»: Квантовый бур с эффектом масштаба (убывающие издержки): $Y_B = (100 - X_B)^2$ , где $X_B \in [0, 100]$ тонн.

Корпорация выбирает между двумя режимами: либо филиалы работают независимо, либо строится гиперпространственный транспортный хаб стоимостью $F = 2500$ кредитов, объединяющий мощности в единую общую КПВ.

Иллюзия ИИ-директора. Рыночные цены составляют $P_X = 120$ кредитов, $P_Y = 1$ кредит. Корпоративный ИИ смоделировал объединенную КПВ с хабом, приравнял наклоны кривой и цен на участке совместной работы и утвердил план выпуска $X = 140$ тонн. Рассчитайте ожидаемую прибыль по плану ИИ.
Тройной капкан и истинный оптимум. Докажите, что ИИ совершил фатальную ошибку. Найдите истинную максимальную прибыль корпорации. Окупается ли постройка хаба?
Анатомия корпоративной границы. Выведите точное уравнение агрегированной КПВ корпорации $Y(X)$ при наличии хаба для всего диапазона $X \in [0, 200]$ .

💡 Решение

Шаг 1. Расчет плана ИИ

На участке совместной работы, где Альфа отдает все силы Неодиму ( $X_A = 100$ ), а Бета только подключается к нему ( $X_B = X - 100$ ), уравнение КПВ имеет вид: $Y(X) = (100 - (X - 100))^2 = (200 - X)^2$

ИИ решает условие первого порядка: $|Y'(X)| = \frac{P_X}{P_Y} \implies |-2(200 - X)| = 120 \implies 200 - X = 60 \implies X = 140$

При выпуске $X = 140$ тонн объем Иттрия равен $Y = (200 - 140)^2 = 3600$ тонн.

Выручка ИИ: $TR = 120(140) + 1(3600) = 16\,800 + 3600 = 20\,400$ кредитов.
Ожидаемая прибыль ИИ: $\Pi_{AI} = 20\,400 - 2500 = \mathbf{17\,900}$ кредитов.

Шаг 2. Анализ ошибки и истинный максимум

Функция $Y = (200 - X)^2$ вогнута к началу координат ( $Y'' = +2 > 0$ ). Точка $X = 140$ является локальным минимумом выручки! Приравнивание производной привело ИИ в худшую из возможных точек на кривой.

В невыпуклых задачах оптимум всегда лежит на границах:

При наличии хаба ( $F = 2500$ $F = 2500$ ):
- Угловая точка $X = 100, Y = 10\,000 \implies TR = 12\,000 + 10\,000 = 22\,000 \implies \Pi = 19\,500$ .
- Угловая точка $X = 200, Y = 0 \implies TR = 120(200) = 24\,000 \implies \Pi = 21\,500$ .
Раздельная работа без хаба ( $F = 0$ ):
- Регион Альфа ( $AИ = 20 < 120$ ): производит максимум Неодима ( $X_A = 100, Y_A = 0$ ). Выручка: $120 \times 100 = 12\,000$ .
- Регион Бета (начальные $AИ = 200 > 120$ ): производит максимум Иттрия ( $X_B = 0, Y_B = 10\,000$ ). Выручка: $10\,000$ .
- Суммарная прибыль без хаба: $\Pi_{indep} = 12\,000 + 10\,000 = \mathbf{22\,000}$ кредитов.

Вывод: Истинная максимальная прибыль равна 22 000 кредитов. Строить хаб не нужно вовсе ( $22\,000 > 21\,500$ ), так как затраты $F = 2500$ превышают выгоду от объединения.

Шаг 3. Уравнение объединенной КПВ

При наличии хаба минимизируются потери $Y$ при переходе к $X$ :

$X \in [0, 100]$ : Первые порции $X$ производит Альфа ( $AИ = 20$ ), Бета дает максимум $Y$ ( $10\,000$ ): $Y(X) = 10\,000 + (2000 - 20X) = \mathbf{12\,000 - 20X}$
$X \in (100, 180]$ : Альфа загружена на 100 тонн $X$ , подключается Бета: $Y(X) = \mathbf{(200 - X)^2}$
$X \in (180, 200]$ : Происходит рокировка (Бета делает 100 тонн $X$ , а Альфа регулирует остаток): $Y(X) = 2000 - 20(X - 100) = \mathbf{4000 - 20X}$