Подготовка к олимпиадам по экономике

В королевстве Эрудель производятся два блага: защитные Амулеты ( $X$ ) и целебные Зелья ( $Y$ ). В экономике действуют две гильдии:

Гильдия Магов: Магия подчиняется эффекту масштаба (убывающие альтернативные издержки). КПВ магов вогнута к началу координат: $Y_M = \frac{(100 - X_M)^2}{100}, \quad X_M \in [0, 100]$
Гильдия Ремесленников: Ручной труд с постоянными альтернативными издержками: производство 1 Амулета требует отказа от $c$ Зелий. Максимальная мощность гильдии ограничена выпуском $K$ Амулетов: $Y_R = c(K - X_R), \quad X_R \in [0, K]$

Ловушка усреднения. Пусть $c = 1$ , а мощность $K = 40$ . Королю требуется ровно $40$ Амулетов и максимально возможное количество Зелий. Докажите неэффективность плана советника («разделить выпуск поровну: по 20 Амулетов каждой гильдии») и найдите оптимальный план.
Кусочная структура и невыпуклый излом. Выведите аналитическое уравнение агрегированной КПВ королевства $Y(X)$ при $c = 1, K = 40$ . Найдите точку излома, в которой кривая образует невыпуклую впадину (прогибается внутрь).
Условия идеального овыпукления (Convexification). Король требует, чтобы агрегированная граница производственных возможностей была строго прямой линией на всем протяжении. Найдите требуемый курс обмена $c$ и минимальную мощность гильдии Ремесленников $K$ .
Экономическая роль буфера. При $c = 1, K = 100$ для выпуска $X = 50$ определите распределение производства между гильдиями. В чем заключается роль Ремесленников по отношению к технологии Магов?

💡 Решение

Шаг 1. Ловушка усреднения

Сравним два плана выпуска $X = 40$ Амулетов при $c = 1, K = 40$ :

План советника (симметричный, $X_M = 20, X_R = 20$ ):
Маги: $Y_M = \frac{(100 - 20)^2}{100} = 64$ Зелья.
Ремесленники: $Y_R = 1(40 - 20) = 20$ Зелий.
Суммарный выпуск: $Y = 64 + 20 = \mathbf{84 \text{ Зелья}}$ .
Оптимальный план (угловая специализация, $X_R = 40, X_M = 0$ ):
Маги отдают все силы Зельям: $Y_M = \frac{(100 - 0)^2}{100} = 100$ Зелий.
Ремесленники делают все Амулеты: $Y_R = 1(40 - 40) = 0$ Зелий.
Суммарный выпуск: $Y = 100 + 0 = \mathbf{100 \text{ Зелий}}$ .

Так как $100 > 84$ , план советника неэффективен. При убывающих альтернативных издержках половинчатые решения строго проигрывают полной специализации.

Шаг 2. Агрегированная КПВ и точка невыпуклости

Задача максимизации: $Y(X) = \max [Y_R(X_R) + Y_M(X_M)]$ при $X_R + X_M = X$ .
Подставим $X_R = X - X_M$ : $Y(X_M) = 40 - (X - X_M) + \frac{(100 - X_M)^2}{100} = 140 - X - X_M + 0{,}01 X_M^2$

Вторая производная строго положительна: $Y''(X_M) = +0{,}02 > 0$ . Любая внутренняя стационарная точка является локальным минимумом. Оптимум всегда лежит на границах допустимого диапазона $X_M$ .

Сравнивая крайние траектории (сначала производят Ремесленники vs сначала производят Маги), получаем точку их пересечения при $X = 70$ . Функция общей КПВ разбивается на 4 участка:

Y(X) = \begin{cases} 140 - X, & 0 \le X \le 40 \\ \frac{(140 - X)^2}{100}, & 40 < X \le 70 \\ 40 + \frac{(100 - X)^2}{100}, & 70 < X \le 100 \\ 140 - X, & 100 < X \le 140 \end{cases}

Анализ излома при $X = 70$ :

Предельный наклон слева: $Y'(70^-) = -\frac{2(140 - 70)}{100} = -1{,}4$
Предельный наклон справа: $Y'(70^+) = -\frac{2(100 - 70)}{100} = -0{,}6$

Наклон скачкообразно становится более пологим (альтернативные издержки падают с $1{,}4$ до $0{,}6$ ). Касательная проваливается внутрь множества — точка $X = 70$ является точкой невыпуклого излома.

Шаг 3. Условия идеального овыпукления (Convexification)

Чтобы общая КПВ стала непрерывной прямой линией без изломов и впадин, технология Ремесленников должна полностью компенсировать неэффективность Магов:

Синхронизация предельных издержек ( $c$ ):
Альтернативные издержки Ремесленников должны совпадать со средней нормой трансформации крайних точек Магов: $c = \frac{Y_{M,max}}{X_{M,max}} = \frac{100}{100} = \mathbf{1}$
Критическая мощность гильдии ( $K$ ):
Ремесленники должны быть способны в одиночку закрыть весь диапазон неопределенности Магов, исключая необходимость частичного смешивания: $K \ge X_{M,max} \implies \mathbf{K \ge 100}$

При $c = 1$ и $K = 100$ уравнение границы становится идеально линейным: $Y(X) = 200 - X$ на всем отрезке $X \in [0, 200]$ .

Шаг 4. Механизм технологического буфера

При выпуске $X = 50$ :

Линейная граница гарантирует: $Y = 200 - 50 = \mathbf{150 \text{ Зелий}}$ .
Распределение выпуска: Маги полностью специализируются на Зельях ( $X_M = 0, Y_M = 100$ ). Все $50$ Амулетов производят Ремесленники ( $X_R = 50$ ), производя остатком мощности $Y_R = 1(100 - 50) = 50$ Зелий.
Суммарно: $X = 0 + 50 = 50$ , $Y = 100 + 50 = 150$ .

Экономический вывод: Ремесленники выступают в роли технологического амортизатора (буфера). Из-за убывающих издержек Магам выгодно работать исключительно в угловых точках полной специализации. Ремесленники с постоянными издержками абсорбируют любые промежуточные запросы общества, устраняя невыпуклости производственного множества.