Подготовка к олимпиадам по экономике

В финале государственного тендера участвуют три IT-корпорации: «Альфа», «Бета» и «Гамма». Победителем станет ровно одна из них.

На Prediction Market торгуются контракты на победу каждой фирмы со следующими множителями выплат:

Корпорация	Покупка (Long) $k$	Выписка (Short) $K$
Альфа (Аутсайдер)	8,0	10,0
Бета (Фаворит 1)	1,5	1,6
Гамма (Фаворит 2)	1,8	2,0

Правила позиций:

Длинная позиция (Long): Инвестиция $x$ . При победе выплата равна $x \cdot k$ ; при поражении капитал сгорает.
Короткая позиция (Short): Эмитент продает контракт с премией $S$ , биржа замораживает залог $y = S(K - 1)$ . При поражении компании залог возвращается вместе с премией. Эффективный множитель отдачи на вложенный капитал $y$ составляет: $M = \frac{y + S}{y} = \frac{K}{K - 1}$

Инвестор располагает капиталом ровно 7000 у.е. Его цель — максимизировать минимальную гарантированную выручку при любом исходе тендера.

Сценарий 1 (Только Long). Найдите максимальную гарантированную выручку при покупке контрактов. Возможен ли арбитраж?
Сценарий 2 (Только Short). Рассчитайте отдачу при выписке контрактов. Сравните полное хеджирование (все 3 эмиссии) и частичное хеджирование (без Альфы).
Сценарий 3 (Смешанный портфель). Можно ли увеличить гарантированную выплату, комбинируя Long и Short позиции? Обоснуйте через анализ предельных издержек хеджирования.

💡 Решение

Шаг 1. Анализ длинных позиций (Long)

Для гарантированной выручки $W$ выравниваем доходы: $8{,}0 x_A = 1{,}5 x_B = 1{,}8 x_C = W$ .
Капитал: $x_A = \frac{W}{8}$ , $x_B = \frac{2W}{3}$ , $x_C = \frac{5W}{9}$ . $S = W \left( \frac{1}{8} + \frac{2}{3} + \frac{5}{9} \right) = \frac{97}{72} W$

При капитале $7000$ у.е.: $W = 7000 \times \frac{72}{97} \approx \mathbf{5195{,}87 \text{ у.е.}} < 7000$ Прямая покупка приносит гарантированный убыток из-за заложенной маржи букмекера.

Шаг 2. Анализ коротких позиций (Short)

Множители отдачи на залоговый капитал $M = \frac{K}{K - 1}$ :

Альфа: $M_A = \frac{10}{9} \approx 1{,}11$
Бета: $M_B = \frac{1{,}6}{0{,}6} = \frac{8}{3} \approx 2{,}67$
Гамма: $M_C = \frac{2{,}0}{1{,}0} = 2{,}0$

Полное хеджирование: Распределение залога на все 3 компании дает $y_A = 0{,}45W$ , $y_B = 0{,}1875W$ , $y_C = 0{,}25W$ .
Суммарный залог: $S = 0{,}8875W \implies W = \frac{7000}{0{,}8875} \approx \mathbf{7887 \text{ у.е.}}$
Неполное хеджирование (без Альфы):
Выписывать контракт на аутсайдера невыгодно ( $M_A = 1{,}11$ $M_{A} = 1, 11$ ). Распределяем залог только между Бетой и Гаммой:
- Победа Беты: выручка $M_C y_C = 2 y_C = W_{min}$
- Победа Гаммы: выручка $M_B y_B = \frac{8}{3} y_B = W_{min}$
- Победа Альфы: сгорают оба обязательства, выручка $2W_{min} = 16\,000$ у.е.
  Капитал: $y_B = \frac{3}{8} W_{min}$ , $y_C = \frac{1}{2} W_{min} \implies S = \frac{7}{8} W_{min}$ .
  $W_{min} = 7000 \times \frac{8}{7} = \mathbf{8000 \text{ у.е.}}$

Шаг 3. Смешанный портфель и предельные издержки

Сопоставим стоимость покупки 1 у.е. гарантированного покрытия исхода:

Покрытие победы Беты: Long Бета стоит $1 / 1{,}5 \approx 0{,}67$ у.е., а Short Гамма требует залога $1 / 2{,}0 = 0{,}50$ у.е. (Short строго дешевле).
Покрытие победы Гаммы: Long Гамма стоит $1 / 1{,}8 \approx 0{,}56$ у.е., а Short Бета требует залога $1 / (8/3) = 0{,}375$ у.е. (Short строго дешевле).
Покрытие победы Альфы: портфель [Short Бета + Short Гамма] генерирует покрытие победы Альфы бесплатно как побочный продукт.

Короткие позиции доминируют длинные на всем пространстве рисков. Добавление Long позиций только увеличит средние издержки. Максимальная гарантированная выручка зафиксирована на уровне 8000 у.е.