Подготовка к олимпиадам по экономике

Два автомобилиста, бедный студент Иван и богатый бизнесмен Артур, регулярно ездят по загородной трассе длиной $D = 225$ км. Разрешенная скорость на трассе составляет $V_{max} = 50$ км/ч.

Водители минимизируют свои общие издержки от поездки ( $TC$ ), которые состоят из альтернативной стоимости потраченного времени и возможных штрафов. Время в пути равно $t = D / v$ , где $v$ — скорость. Ставка (ценность) времени Ивана составляет $w_1 = 625$ руб/час, а Артура — $w_2 = 10000$ руб/час.

Умные камеры (Непрерывный штраф). Мэрия установила на трассе инновационные камеры. Штраф зависит от скорости непрерывно и рассчитывается по формуле: $F(v) = 0{,}5(v - 50)^2$ для любой скорости $v > 50$ . Выведите функции предельных издержек ускорения и предельной выгоды от экономии времени. С какой скоростью поедут Иван и Артур?
Единый тариф (Максимизация доходов). Мэр ввел единый фиксированный штраф $F$ за любое превышение скорости. Если водитель решает нарушать, он едет на максимуме возможностей своей машины: 150 км/ч у «Лады» Ивана и 250 км/ч у спорткара Артура. Какой максимальный штраф $F$ должна установить мэрия, чтобы максимизировать поступления в бюджет? Кто станет нарушителем?
Вероятностный подход (Угроза лишения). Денежные штрафы отменили. Каждое превышение на 1 км/ч свыше 50 км/ч увеличивает риск потери прав на 1% (при скорости 60 км/ч риск равен 10%). Субъективная ценность прав для обоих равна $L = 22500$ руб. Водители минимизируют ожидаемые издержки $EC$ . Найдите новые оптимальные скорости.
Философия наказаний. Почему в пункте 1 квадратичная система заставила нарушать обоих, а вероятностная система в пункте 3 превратила Ивана в законопослушного водителя, позволив Артуру нарушать дальше?

💡 Решение

Шаг 1. Маржинальный анализ умных камер

Общие издержки времени равны $C_{time} = w \cdot (D / v)$ :

Для Ивана: $C_1(v) = 625 \times 225 / v = 140625 / v$
Для Артура: $C_2(v) = 10000 \times 225 / v = 2250000 / v$

Функция общих издержек при превышении ( $v > 50$ ): $TC(v) = \frac{w D}{v} + 0{,}5(v - 50)^2$

Предельная выгода от скорости ( $MB$ ) равна сокращению временных потерь: $MB = -C'_{time}(v) = \frac{w D}{v^2}$

Предельные издержки от штрафа ( $MC$ ): $MC = F'(v) = v - 50$

Приравниваем $MB = MC$ :

Иван: $\frac{140625}{v^2} = v - 50 \implies v^2(v - 50) = 140625$ . Заметим, что $75^2 \times 25 = 5625 \times 25 = 140625$ . Оптимальная скорость: $v_1^* = 75$ км/ч (штраф $312{,}5$ руб).
Артур: $\frac{2250000}{v^2} = v - 50 \implies v^2(v - 50) = 2250000$ . Корень: $v_2^* = 150$ км/ч ( $150^2 \times 100 = 2250000$ ). Оптимальная скорость: $v_2^* = 150$ км/ч (штраф $5000$ руб).

Шаг 2. Выбор между крайностями при фиксированном тарифе

При фиксированном штрафе превышать слегка не имеет смысла: агент выбирает между $v = 50$ и максимальной скоростью машины.

Выбор Ивана:
- Издержки при 50 км/ч: $140625 / 50 = 2812{,}5$ руб.
- Издержки при 150 км/ч: $140625 / 150 + F = 937{,}5 + F$ руб.
- Нарушает, если $937{,}5 + F \le 2812{,}5 \implies F \le 1875$ руб.
Выбор Артура:
- Издержки при 50 км/ч: $2250000 / 50 = 45000$ руб.
- Издержки при 250 км/ч: $2250000 / 250 + F = 9000 + F$ руб.
- Нарушает, если $9000 + F \le 45000 \implies F \le 36000$ руб.

Анализ доходов бюджета:

При $F = 1875$ нарушают оба: сбор равен $1875 \times 2 = 3750$ руб.
При $F = 36000$ Иван едет 50 км/ч, а Артур платит штраф: сбор равен $36000$ руб.

Ответ: Оптимальный штраф равен $36000$ руб. Артур нарушает, Иван соблюдает закон.

Шаг 3. Ожидаемые издержки и угловое решение

Вероятность лишения прав: $P(v) = \frac{v - 50}{100}$ при $v > 50$ .
Ожидаемый штраф: $P(v) \cdot L = \frac{v - 50}{100} \times 22500 = 225(v - 50)$ .

Ожидаемые издержки: $EC(v) = \frac{w D}{v} + 225(v - 50)$

Предельные издержки превышения скорости стали строго постоянными: $MC = 225$ .

Иван: $MB = \frac{140625}{v^2} = 225 \implies v^2 = 625 \implies v = 25$ км/ч.
Но так как штраф начисляется только при $v > 50$ , предельная выгода Ивана на границе равна $140625 / 50^2 = 56{,}25$ . Поскольку $56{,}25 < 225$ , выгода от первого километра нарушения меньше штрафа. Получаем угловое решение: Иван едет строго $50$ км/ч.
Артур: $MB = \frac{2250000}{v^2} = 225 \implies v^2 = 10000 \implies v = 100$ км/ч.

Шаг 4. Экономическая интуиция

Разница заключается в поведении предельных издержек ( $MC$ ):

В системе «Умных камер» функция штрафа квадратичная: $MC = v - 50$ . При $v \to 50$ предельный штраф стремится к нулю. Первые километры превышения бесплатны, поэтому нарушать выгодно абсолютно любому агенту с положительной ценностью времени.
В вероятностной системе предельные издержки постоянны ( $MC = 225$ ) уже с первого километра превышения. Для Ивана создается высокий стартовый барьер ( $56{,}25 < 225$ ), удерживающий его от нарушений, тогда как время Артура настолько дорогое, что он готов преодолеть этот порог.